名古屋大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $n$ 回投げた後の $x$ 座標は，硬貨Aで表が出た回数を $r$ とすると $r-(n-r)=2r-n$ である。したがって $x$ 座標は $n$ と同じ偶奇をもつ。$y$ 座標も同様である。 $n$ が偶数のとき，$x,y$ はともに偶数である。原点からの距離が $\sqrt{2}$ 以内となる偶数格子点は原点だけである。よって$$P(Q=(0,0))={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{n\mathrm{/}2}}{2^n}}\cdot {\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{n\mathrm{/}2}}{2^n}}$$であり，求める確率は ${\left({\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{n\mathrm{/}2}}{2^n}}\right)}^2$ である。 $n$ が奇数のとき，$x,y$ はともに奇数である。距離が $\sqrt{2}$ 以内となる点は $(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$ の4点である。1つの座標が $1$ または $-1$ になる確率は$${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}+{}_n{\mathrm{C}}_{(n-1)\mathrm{/}2}}{2^n}}={\displaystyle \frac{2{}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}}{2^n}}$$である。したがって求める確率は ${\left({\displaystyle \frac{2{}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}}{2^n}}\right)}^2$ である。

(2)

ここでは(3)で用いるため，途中で原点からの距離が $\sqrt{2}$ より大きくならない経路だけを数え，そのうち時刻 $n$ に原点にある確率を $p_n$，半径 $\sqrt{2}$ の円周上にある確率を $q_n$ として扱う。この解釈でなければ，外側から円周上へ戻る経路もあるため，$p_n,q_n$ だけで次の $p_{n+1},q_{n+1}$ は決まらない。

原点から1回移動すると，必ず $(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$ のいずれかに移る。したがって原点から円周上へ移る確率は1である。

一方，円周上の4点のどれかにいるとする。次も半径 $\sqrt{2}$ 以内にとどまるには，原点へ戻るしかない。例えば $(1,1)$ からは，4通りの移動先のうち原点は $(0,0)$ の1通りだけである。したがって円周上から原点へ戻る確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

よって $$p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{q}_n,q_{n+1}=p_n$$ であり，$$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$$となる。したがって$$T=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& 0\end{array}\right)$$である。

(3)

距離が一度も $\sqrt{2}$ より大きくならないためには，点 $Q$ は原点と円周上の4点を交互に動くしかない。原点から円周上へ出る移動は必ず条件を満たし，円周上から条件を満たして次へ進むには確率 $1\mathrm{/}4$ で原点へ戻る必要がある。

したがって2回の移動を1組として見ると，条件を保ったまま $$\text{原点}\to \text{円周上}\to \text{原点}$$ と戻る確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。 $n=2m$ のときは，この2回1組が $m$ 回必要なので，求める確率は ${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m$ である。$n=2m+1$ のときは，$m$ 組を終えた後，最後に原点から円周上へ1回移る。この最後の移動は必ず条件を満たすので，やはり確率は ${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m$ である。

よって一般に ${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }$ である。

(1) は各座標の1次元移動を直接数える。(2)は原文を文字どおり読んだ場合の矛盾を初期数項で検証し、(3)と整合する制限付き状態確率に読み替えた行列を示す。(3)は2回ごとの移動列を直接数える。

(1)

$n$ が偶数なら、半径 $\sqrt{2}$ 以内で到達可能な点は原点だけである。各座標が0となる確率は$${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{n\mathrm{/}2}}{2^n}}$$だから、独立性より$${\left({\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{n\mathrm{/}2}}{2^n}}\right)}^2\mathrm{.}$$$n$ が奇数なら到達可能な点は $(\pm 1,\pm 1)$ の4点である。1座標が $\pm 1$ のいずれかとなる確率は$${\displaystyle \frac{2{}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}}{2^n}}\mathrm{.}$$したがって求める確率は$${\left({\displaystyle \frac{2{}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}}{2^n}}\right)}^2\mathrm{.}$$(2)

原文の $p_n,q_n$ を「途中の位置を問わない無条件確率」と文字どおり読むと、一定行列 $T$ は存在しない。実際、$$(p_0,q_0)=(1,0),(p_1,q_1)=(0,1),(p_2,q_2)=({\displaystyle \frac{1}{4}},0)$$から、もし一定行列があるなら$$T=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& 0\end{array}\right)$$に限られる。しかしこの行列は $q_3=1\mathrm{/}4$ を与える一方、無条件確率の実値は$$q_3={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$$であり矛盾する。

そこで(3)への誘導として、「時刻 $n$ まで一度も円外へ出ていない経路」のうち原点にある確率を $p_n$、円周上にある確率を $q_n$ と読む。原点からは確率1で円周上へ移り、円周上から条件を保てるのは確率 $1\mathrm{/}4$ で原点へ戻る場合だけである。よって$$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\mathrm{.}$$この出題意図上の解釈では$$T=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)

条件を保つには、偶数回目の移動で直前の移動をちょうど打ち消して原点へ戻らなければならない。2回を1組にすると、第1歩は4通り自由、第2歩はその逆向きの1通りだけである。したがって1組が条件を満たす確率は$${\displaystyle \frac{4}{4^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$$n=2m$ でも $n=2m+1$ でも、制約を受ける完全な2歩組は $m$ 組である。よって$${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }\mathrm{.}$$