名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列文系数学 第3問(a)

$p_n$ を，$n$ 回操作した後に上面が $1$ または $6$ である確率とする。はじめ上面は1であるから $p_0=1$ である。

上面が $1$ または $6$ であるとき，その反対側の面はそれぞれ $6$ または $1$ である。横の面の側へ倒すので，次の上面は $1,6$ のどちらにもならない。したがって，この場合に次に $1$ または $6$ が出る確率は0である。

一方，上面が $1,6$ 以外であるとき，$1$ と $6$ は互いに反対側にあり，どちらも横の4面の中にある。横の4面のいずれかに等確率で倒すので，次に $1$ または $6$ が出る確率は $${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

よって $p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-p_n)$ である。この漸化式の一定値 $p$ は $p={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-p)$ より $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。したがって $$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(p_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ となる。$p_0=1$ だから$$p_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$である。ゆえに，求める確率は $$p_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$ である。

上面を2状態にまとめる

上面を「1または6」と「その他」の2状態にまとめ、2状態の遷移行列を作る。
固有値 $1,-1\mathrm{/}2$ に対応する定常部分と減衰部分へ分けて確率を求める。

$n$ 回後に上面が $1$ または $6$ である確率を $p_n$、その他である確率を $q_n$ とする。
目的の状態から次に目的の状態へ移る確率は0、その他の状態から目的の状態へ移る確率は $1\mathrm{/}2$ なので$$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\mathrm{/}2\\ 1& 1\mathrm{/}2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\mathrm{.}$$この行列の固有値は $1,-1\mathrm{/}2$ である。固有値1に対応する確率ベクトルは$$\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}3\\ 2\mathrm{/}3\end{array}\right)$$である。初期値は $(p_0,q_0)=(1,0)$ だから$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}3\\ 2\mathrm{/}3\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$後半のベクトルは1回ごとに $-1\mathrm{/}2$ 倍される。したがって$$p_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}$$