名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 確率理系数学 第4問(a)

(1) 1回目、2回目の出目を$i,j$とする。2回目に初めて$x$を超える条件は$$i\leqq x<i+j\mathrm{.}$$$1\leqq x\leqq 6$では、$i=1,\dots ,x$に対して$j$は$6-x+i$通りある。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{36}}\sum _{i=1}^x(6-x+i)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x(13-x)}{72}}\mathrm{.}}\end{array}$$$7\leqq x\leqq 11$では$i\leqq x$は自動的に成り立つ。$i+j>x$となる格子点数は$$1+2+\cdots +(12-x)={\displaystyle \frac{(12-x)(13-x)}{2}}$$だから、$$P_2(x)={\displaystyle \frac{(12-x)(13-x)}{72}}\mathrm{.}$$$x\geqq 12$では2投の和が$x$を超えない。以上より$$P_2(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x(13-x)}{72}}& (1\leqq x\leqq 6),\\ {\displaystyle \frac{(12-x)(13-x)}{72}}& (7\leqq x\leqq 11),\\ 0& (x\geqq 12)\mathrm{.}\end{array}$$(2) $x>6$なら最初の1投では$x$を超えない。最初の出目が$j$のとき、残る$n$投で初めて$x-j$を超える確率は$P_n(x-j)$である。よって全確率より$$P_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{1}{6}}\{P_n(x-1)+P_n(x-2)+\cdots +P_n(x-6)\}\mathrm{.}$$

$(1)$では「2投の和が$x$を超える確率」から「1投目ですでに超える確率」を引く。さいころの和の三角分布を使う。$(2)$では最初の出目による事象分割を確率木として読む。

(1) 出目を$X_1,X_2$とする。$$P_2(x)=\mathrm{Pr}(X_1+X_2>x)-\mathrm{Pr}(X_1>x)$$である。ただし右辺第2項の事象は第1項に含まれる。

$1\leqq x\leqq 6$では、$X_1+X_2\leqq x$となる組は$$1+2+\cdots +(x-1)={\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}$$通りであり、$$\mathrm{Pr}(X_1>x)={\displaystyle \frac{6-x}{6}}$$である。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2(x)}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{x(x-1)}{72}}-{\displaystyle \frac{6-x}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x(13-x)}{72}}\mathrm{.}}\end{array}$$$7\leqq x\leqq 11$では$\mathrm{Pr}(X_1>x)=0$で、和が$x$を超える組が$${\displaystyle \frac{(12-x)(13-x)}{2}}$$通りだから同じ場合分けを得る。$x\geqq 12$では0である。

(2) 最初の枝を出目$1,\dots ,6$に分ける。各枝の確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$で、枝$j$の後に必要な事象は「残り$n$投で初めて$x-j$を超える」である。したがって$$P_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{1}{6}}\sum _{j=1}^6{P}_n(x-j)\mathrm{.}$$