名古屋大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

仮説が正しいなら，各観測で$Q$が頂点$d$にいる確率は$1\mathrm{/}4$である。10回の観測で頂点$d$にいる回数を$X$とすると，$X$は成功確率$1\mathrm{/}4$，試行回数$10$の二項分布に従う。

観測された値は$6$回である。仮説のもとで$6$回以上となる確率は$$P(X\geqq 6)=\sum _{j=6}^{10}{}_{10}{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^j{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{10-j}$$である。計算すると $$P(X\geqq 6)={\displaystyle \frac{10343}{524288}}=0.0197\cdots$$ である。これは$0.05$より小さい。

したがって，この観測結果は仮説のもとでは起こりにくい。よって有意水準$5\mathrm{\%}$で，$Q$が頂点$d$に存在する確率が$1\mathrm{/}4$であるという仮説は棄却される。

(2)

（ア） $R$は1分ごとに現在いる頂点以外の3頂点へ等確率で移る。頂点$a$にいる確率を$p_n=P_{\text{a}}(n)$とおく。$n+1$分後に$a$にいるには，$n$分後に$a$以外にいて，そこから$a$へ移ればよい。したがって $$p_{n+1}={\displaystyle \frac{1-p_n}{3}}$$ である。初期値は$p_0=1$である。 $$p_{n+1}-1\mathrm{/}4=-(p_n-1\mathrm{/}4)\mathrm{/}3$$なので $$p_n={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$ である。したがって$$P_{\text{a}}(5)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^5={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{324}}={\displaystyle \frac{20}{81}}$$である。

（イ）

頂点$b$と頂点$c$は，出発点$a$および移動規則に対して完全に対称である。より具体的には，$b$と$c$の名前を入れ替えても，出発点も移動の確率も変わらない。したがって任意の$n$について，頂点$b$にいる場合と頂点$c$にいる場合は同じ確率で起こる。

よって $$P_{\text{b}}(n)=P_{\text{c}}(n)$$ である。

（ウ）

同じ対称性により，頂点$a$以外の3頂点$b,c,d$にいる確率は等しい。したがって $$P_{\text{d}}(n)={\displaystyle \frac{1-P_{\text{a}}(n)}{3}}$$ である。(ア)の結果を代入して$$P_{\text{d}}(n)={\displaystyle \frac{1-\{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\}}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$である。

(1) は二項分布の上側確率を正確に計算する。(2)は長さ $n$ の移動経路を数え、完全グラフの対称性から2種類の経路数の漸化式を解く。

(1)
仮説のもとで、10回中頂点 $d$ にいた回数を $X$ とすれば$$X\sim B(10,{\displaystyle \frac{1}{4}})\mathrm{.}$$観測値6以上の確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Pr}(X\geqq 6)}& {\displaystyle =\sum _{j=6}^{10}{}_{10}{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^j{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{10-j}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10343}{524288}}=0.0197\cdots <\mathrm{0.05.}}\end{array}$$よって有意水準5％で仮説を棄却する。

(2)
頂点 $a$ から出発する長さ $n$ の経路は全部で $3^n$ 本である。
$a$ に終わる経路数を $U_n$、特定の他頂点、例えば $d$ に終わる経路数を
$V_n$ とする。対称性により他の3頂点への経路数はすべて $V_n$ で$$U_n+3V_n=3^n\mathrm{.}$$次の1歩で $a$ へ来るのは他頂点からだけなので$$U_{n+1}=3V_n\mathrm{.}$$また $d$ へ来るのは $d$ 以外からなので$$V_{n+1}=U_n+2V_n\mathrm{.}$$差を取ると$$U_{n+1}-V_{n+1}=-(U_n-V_n)\mathrm{.}$$$(U_0,V_0)=(1,0)$ より $U_n-V_n=(-1{)}^n$。和との連立から$$U_n={\displaystyle \frac{3^n+3(-1{)}^n}{4}},V_n={\displaystyle \frac{3^n-(-1{)}^n}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$P_{\mathrm{a}}(5)={\displaystyle \frac{U_5}{3^5}}={\displaystyle \frac{20}{81}}\mathrm{.}$$頂点 $b,c$ は対称なので $$P_{\mathrm{b}}(n)=P_{\mathrm{c}}(n)$$ であり、$$P_{\mathrm{d}}(n)={\displaystyle \frac{V_n}{3^n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\mathrm{.}$$