名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

黒ブロックの位置を10個の場所から4個選べば、白ブロックの位置も決まる。したがって全事象は $${}_{10}{\mathrm{C}}_4=210$$ 通りである。

黒列部分の個数を$r$とする。黒列長は正の整数で和が4になる$r$個の数である。また、白列は黒列の前後と間にできる。両端の白の長さは0以上、黒列の間にある白の長さは1以上であり、それらの和は6である。

この分配を$r=1,2,3,4$について数える。各$r$で、黒列の最大長$X$と白列の最大長$Y$の大小ごとに数えると次の表になる。$$\begin{array}{cccc}r& X>Y& X=Y& X<Y\\ 1& 1& 2& 4\\ 2& 2& 17& 44\\ 3& 0& 24& 81\\ 4& 0& 0& 35\end{array}$$内訳も確認しておく。$r=1$では$(4,3):1$, $(4,4):2$, $(4,5):2$, $(4,6):2$である。例えば黒列長は4であり、白6個は左右の端に$(0,6),(1,5),\dots ,(6,0)$と分かれるから、最大白列長が3,4,5,6となる個数はそれぞれ1,2,2,2である。$r=2$では$(2,2):1$, $(2,3):8$, $(2,4):7$, $(2,5):4$, $(2,6):1$, $(3,2):2$, $(3,3):16$, $(3,4):14$, $(3,5):8$, $(3,6):2$である。$r=3$では$(2,2):24$, $(2,3):51$, $(2,4):24$, $(2,5):6$、$r=4$では$(1,2):18$, $(1,3):14$, $(1,4):3$である。いずれも黒列長の順序付き分割と、内部の白列を1以上とする白の分配を数えている。

したがって、総数は $X>Y:1+2+0+0=3$ $X=Y:2+17+24+0=43$ $X<Y:4+44+81+35=164$ である。これらの和は $3+43+164=210$ となり、全事象の数と一致する。

よって求める確率は $$P(X>Y)={\displaystyle \frac{3}{210}}={\displaystyle \frac{1}{70}}$$ $$P(X=Y)={\displaystyle \frac{43}{210}}$$ $$P(X<Y)={\displaystyle \frac{164}{210}}={\displaystyle \frac{82}{105}}$$ である。

黒白の列を左から1個ずつ作る動的な数え上げを行う。「使用済みの黒・白の個数」「末尾の色と現在の連続長」「それまでの黒・白の最大連続長」だけを記録すれば、同じ状態をまとめられる。10段階後の状態を $X,Y$ の大小で集計し、列部分による分割表とは独立に答えを検算する。

黒を $B$、白を $W$ と書く。長さ $i$ まで並べたときの状態を$$(b,w;\text{ 末尾の色},\mathrm{\ell };X,Y)$$で表す。ここで $b,w$ は使用済み個数、$\mathrm{\ell }$ は末尾の連続長、$X,Y$ はそれまでの黒・白の最大連続長である。

初期状態は$$(1,0;B,1;1,0),(0,1;W,1;0,1)$$が各1通りである。各状態の右に $B$ を加えるときは$${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\ell }+1& (\text{末尾が }B),\\ 1& (\text{末尾が }W),\end{array}{X}^{\mathrm{\prime }}=\max (X,{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}),$$と更新する。$W$ を加える場合も色を入れ替えて同様に更新する。同じ状態へ着く通り数は加え合わせ、$b\leqq 4,w\leqq 6$ の範囲で10段階繰り返す。

途中の集計を、並べ終えた長さごとの状態数で確認すると$$\begin{array}{ccccccccccc}i& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \text{到達状態数}& 2& 4& 8& 16& 29& 45& 63& 74& 73& 50\end{array}$$となる。最後に $b=4,w=6$ の状態だけを通り数で集計すると$$\begin{array}{ccccc}& X>Y& X=Y& X<Y& \text{合計}\\ \text{列の個数}& 3& 43& 164& 210\end{array}$$を得る。合計 $210$ は、黒4個の位置の選び方$${}_{10}{\mathrm{C}}_4=210$$とも一致する。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X>Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{210}}={\displaystyle \frac{1}{70}},}\\ {\displaystyle P(X=Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{43}{210}},}\\ {\displaystyle P(X<Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{164}{210}}={\displaystyle \frac{82}{105}}\mathrm{.}}\end{array}$$この方法は列部分の個数による場合分けを用いないので、解法1の表を独立に検算している。