名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

部分和を $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ とおく。条件は $$S_n={(a_n+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ である。 $n=1$ では $$a_1={(a_1+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ より $${(a_1-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=0$$ であるから $a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。 $n\geqq 2$ では $S_n-S_{n-1}=a_n$ より $${(a_n+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2-{(a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=a_n$$ である。整理すると $${(a_n-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={(a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ となるので $a_n=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ または $a_n=-a_{n-1}$ である。すべての項が正なら，$a_{n-1}>0$ から後者は選べない。したがって常に $a_n=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $$a_n={\displaystyle \frac{1}{4}}+(n-1){\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2n-1}{4}}$$ である。

(2)

上で得た関係により，各 $n\geqq 2$ で $a_n=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ または $a_n=-a_{n-1}$ である。

最初の100項のうち，ただ1つの負の項が第 $j$ 項であるとする。$a_1=1\mathrm{/}4>0$ だから $j\geqq 2$ である。第 $j$ 項より前には負の項がないので，そこまでは毎回 $a_n=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を選ぶ。したがって $$a_{j-1}={\displaystyle \frac{2(j-1)-1}{4}}={\displaystyle \frac{2j-3}{4}}$$ である。

第 $j$ 項を負にするには $$a_j=-a_{j-1}=-{\displaystyle \frac{2j-3}{4}}$$ でなければならない。

まず $j<100$ の場合を考える。第 $j+1$ 項以後は正でなければならない。$j=2$ の場合は $a_j=-1\mathrm{/}4$ で，二つの選択はいずれも $a_{j+1}=1\mathrm{/}4$ を与える。$j\geqq 3$ の場合は $a_j+1\mathrm{/}2<0$ なので，正に戻すには $a_{j+1}=-a_j=a_{j-1}$ を選ぶしかない。その後は負の項を増やさないため，毎回 $1\mathrm{/}2$ を加える選択をする。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{100}}& {\displaystyle =a_{j-1}+(100-j-1){\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2j-3}{4}}+{\displaystyle \frac{99-j}{2}}={\displaystyle \frac{195}{4}}}\end{array}$$である。

次に $j=100$ の場合は，第99項まではすべて正項列と同じだから $$a_{99}={\displaystyle \frac{2\cdot 99-1}{4}}={\displaystyle \frac{197}{4}}$$ であり，$$a_{100}=-a_{99}=-{\displaystyle \frac{197}{4}}$$ となる。

したがって求める値は $$a_{100}={\displaystyle \frac{195}{4}}\text{または}{a}_{100}=-{\displaystyle \frac{197}{4}}$$ である。

$b_n=4a_n$ として整数の遷移 $b_n=b_{n-1}+2$ または $b_n=-b_{n-1}$ に直す。(1)は正の状態だけをたどる。(2)は唯一の負の項の位置を $j$ とし、符号反転の前後を遷移図のように追う。

(1)

$b_n=4a_n$ とおく。部分和条件を隣り合う $n$ で引き算すると$$(a_n-\frac{1}{4}{)}^2=(a_{n-1}+\frac{1}{4}{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$b_n=b_{n-1}+2\text{または}{b}_n=-b_{n-1},b_1=1.$$すべて正なら符号反転は選べないので$$b_n=2n-1,a_n={\displaystyle \frac{2n-1}{4}}\mathrm{.}$$(2)

唯一の負の項を $a_j$ とする。$b_1=1>0$ だから $j\geqq 2$ である。
$j-1$ までは正であるため、毎回 $+2$ の遷移しか選べず$$b_{j-1}=2j-3.$$第 $j$ 項で初めて負になるには符号反転を選ぶので$$b_j=-(2j-3)\mathrm{.}$$$j<100$ なら次項以降は正でなければならない。$j\geqq 3$ では
$b_j+2<0$ なので直ちに再び符号反転し、$$b_{j+1}=2j-3.$$$j=2$ でも $b_2=-1$ から次は $b_3=1$ となる。以後は $+2$ の遷移だけだから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{100}}& {\displaystyle =(2j-3)+2(99-j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =195.}\end{array}$$よって $j<100$ の場合は$$a_{100}={\displaystyle \frac{195}{4}}\mathrm{.}$$$j=100$ なら$$b_{99}=197,b_{100}=-197,$$したがって$$a_{100}=-{\displaystyle \frac{197}{4}}\mathrm{.}$$以上より$$a_{100}={\displaystyle \frac{195}{4}}\text{または}{a}_{100}=-{\displaystyle \frac{197}{4}}\mathrm{.}$$