名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$n\geqq 2$について、与えられた条件を$n$の場合と$n-1$の場合で引くと $$a_n^2=(n^2+2n)-\{(n-1{)}^2+2(n-1)\}$$ である。右辺を整理すると $$n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=2n+1$$ である。また$n=1$のときも $a_1^2=1^2+2=3=2\cdot 1+1$ で同じ式になる。数列は正数からなるので $$a_n=\sqrt{2n+1}$$ である。

したがって$${\displaystyle \frac{a_1+\cdots +a_n}{n^{3\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\sqrt{{\displaystyle \frac{2k}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}}$$である。区分求積法により$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_1+\cdots +a_n}{n^{3\mathrm{/}2}}}={\int }_0^1\sqrt{2x}dx$$である。この積分は$${\int }_0^1\sqrt{2x}dx=\sqrt{2}{\int }_0^1{x}^{1\mathrm{/}2}dx=\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$である。

よって$${\displaystyle \frac{a_1+\cdots +a_n}{n^r}}={\displaystyle \frac{a_1+\cdots +a_n}{n^{3\mathrm{/}2}}}\cdot n^{3\mathrm{/}2-r}$$である。前半の因子は正の定数${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$に収束する。

したがって、$$r={\displaystyle \frac{3}{2}}$$のとき極限は ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ である。$$r>{\displaystyle \frac{3}{2}}$$のときは$n^{3\mathrm{/}2-r}\to 0$なので極限は0である。一方、$$r<{\displaystyle \frac{3}{2}}$$のときは$n^{3\mathrm{/}2-r}\to \mathrm{\infty }$となり、数列は有限の実数には収束しない。

以上より、収束する$r$の範囲は $$r\geqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり、極限値は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}& (r={\displaystyle \frac{3}{2}}),\\ 0& (r>{\displaystyle \frac{3}{2}})\end{array}$$である。

一般項を求めた後、増加関数 $\sqrt{2x+1}$ の定積分で和を上下から挟む。両側を $n^{3\mathrm{/}2}$ で割って同じ極限へ収束させ、区分求積法を直接使わずに和の主項を確定する。

与式を $n$ と $n-1$ で引くと$$a_n^2=2n+1.$$$a_n>0$ だから$$a_n=\sqrt{2n+1}\mathrm{.}$$$S_n=a_1+\cdots +a_n$ と置く。

関数 $$f(x)=\sqrt{2x+1}$$ は増加するので、各区間の長方形を比較すると$${\int }_0^n\sqrt{2x+1}dx\leqq S_n\leqq {\int }_1^{n+1}\sqrt{2x+1}dx\mathrm{.}$$原始関数は$$\int \sqrt{2x+1}dx={\displaystyle \frac{(2x+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}$$である。したがって$${\displaystyle \frac{(2n+1{)}^{3\mathrm{/}2}-1}{3}}\leqq S_n\leqq {\displaystyle \frac{(2n+3{)}^{3\mathrm{/}2}-3\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}$$3辺を $n^{3\mathrm{/}2}$ で割ると、左右はともに$${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$へ近づく。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^{3\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{S_n}{n^r}}={\displaystyle \frac{S_n}{n^{3\mathrm{/}2}}}{n}^{3\mathrm{/}2-r}\mathrm{.}$$第1因子は正の定数へ収束するから、有限値に収束するのは $r\geqq 3\mathrm{/}2$ のときに限る。結論は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}& (r={\displaystyle \frac{3}{2}}),\\ 0& (r>{\displaystyle \frac{3}{2}})\end{array}$$であり、$r<3\mathrm{/}2$ では正の無限大へ発散する。