名古屋大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

漸化式から $a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$ である。したがって$${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}={\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}$$である。

よって $N\geqq 2$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=2}^N{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}}& {\displaystyle =\sum _{n=2}^N({\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}-{\displaystyle \frac{1}{a_N}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{N+1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $a_1=a_2=1$ であり、数列 $a_n$ は正の整数で増加していくので $${\displaystyle \frac{1}{a_N}},{\displaystyle \frac{1}{a_{N+1}}}\to 0(N\to \mathrm{\infty })$$ である。したがって $$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}=2$$ である。

(2)

数列の初めの値は $$a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=3,a_5=5,a_6=8,a_7=13,a_8=21$$ である。 $n=1$ では $$a_4=3,a_2^2+2a_2{a}_1=1+2=3$$ である。$n=2$ では $$a_6=8,a_3^2+2a_3{a}_2=4+4=8$$ である。$n=3$ では $$a_8=21,a_4^2+2a_4{a}_3=9+12=21$$ である。よって与えられた式は $n=1,2,3$ で成り立つ。

また、対応する奇数番目を見ると $a_3=2=a_2^2+a_1^2,$ $a_5=5=a_3^2+a_2^2,$ $a_7=13=a_4^2+a_3^2$ である。したがって $$a_{2n+1}=a_{n+1}^2+a_n^2$$ と推測できる。

(3)

次の2式を同時に証明する。 $$a_{2n+1}=a_{n+1}^2+a_n^2,$$ $$a_{2n+2}=a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n$$ である。 $n=1$ では $a_3=2=a_2^2+a_1^2$ かつ $a_4=3=a_2^2+2a_2{a}_1$ であるから成り立つ。

ある自然数 $n$ で2式が成り立つと仮定する。漸化式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2n+3}}& {\displaystyle =a_{2n+2}+a_{2n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n)+(a_{n+1}^2+a_n^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n+a_n^2\mathrm{.}}\end{array}$$一方 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ なので$$a_{n+2}^2+a_{n+1}^2=(a_{n+1}+a_n{)}^2+a_{n+1}^2=2a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n+a_n^2$$である。よって $$a_{2n+3}=a_{n+2}^2+a_{n+1}^2$$ が成り立つ。

さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2n+4}}& {\displaystyle =a_{2n+3}+a_{2n+2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n+a_n^2)+(a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a_{n+1}^2+4a_{n+1}{a}_n+a_n^2\mathrm{.}}\end{array}$$一方$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+2}^2+2a_{n+2}{a}_{n+1}}& {\displaystyle =(a_{n+1}+a_n{)}^2+2(a_{n+1}+a_n)a_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a_{n+1}^2+4a_{n+1}{a}_n+a_n^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$a_{2n+4}=a_{n+2}^2+2a_{n+2}{a}_{n+1}$$ も成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって2式はすべての自然数 $n$ で成り立つ。

$a_0=0$ を補い、フィボナッチ型数列の加法公式を
帰納法で準備する。
そこへ同じ添字を代入して、奇数番・偶数番の2式を同時に得る。

(1) $${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}={\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}\mathrm{.}$$したがって部分和は$$\sum _{n=2}^N{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}{a}_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}-{\displaystyle \frac{1}{a_N}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{N+1}}}\mathrm{.}$$$N\to \mathrm{\infty }$ とすれば、求める和は$$2.$$(2)

初項を計算すると$$a_3=2,a_4=3,a_5=5,a_6=8,a_7=13,a_8=21.$$これから与式は $n=1,2,3$ でそれぞれ成立し、$$a_{2n+1}=a_{n+1}^2+a_n^2$$と推測できる。

(3)

$a_0=0$ と置く。次の加法公式を使う。$$a_{r+s}=a_r{a}_{s+1}+a_{r-1}{a}_s(r\geqq 1,s\geqq 0)\mathrm{.}$$$s=0$ では成立し、$s$ から $s+1$ への移行は
右辺に漸化式を使えば直ちに従うので、この公式は帰納法で証明できる。

$r=n+1,s=n$ とすると$$a_{2n+1}=a_{n+1}^2+a_n^2\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2n+2}}& {\displaystyle =a_{n+1}{a}_{n+2}+a_n{a}_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_{n+1}(a_{n+1}+2a_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_{n+1}^2+2a_{n+1}{a}_n\mathrm{.}}\end{array}$$よって推測した式と与式はすべての自然数 $n$ で成り立つ。