名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
$a_1=1>0$ である。$a_{m-1}>0$ と仮定すると、$0<x<a_{m-1}$ で
$0<f(x)<1$ だから$$0<{\int }_0^{a_{m-1}}f(x)dx<{\int }_0^{a_{m-1}}1dx=a_{m-1}\mathrm{.}$$すなわち $0<a_m<a_{m-1}$ である。帰納法により$$a_1>a_2>\cdots >a_m>a_{m+1}>\cdots >0$$が成り立つ。

(2)
$a_m<1\mathrm{/}2002$ となる項が存在しないと仮定する。このとき$$a_m\geqq {\displaystyle \frac{1}{2002}}$$であり、単調減少列 $\{a_m\}$ は正の実数 $L$ に収束する。$$F(u)={\int }_0^{u}f(x)dx$$とおくと $F$ は連続で、漸化式は $a_m=F(a_{m-1})$ である。極限を取れば$$L=F(L)={\int }_0^{L}f(x)dx\mathrm{.}$$一方、$L>0$ と $0<f(x)<1$ から$${\int }_0^{L}f(x)dx<{\int }_0^{L}1dx=L,$$となり矛盾する。したがって$$a_m<{\displaystyle \frac{1}{2002}}$$となる $m$ が存在する。

極限方程式を使わず、仮に全項が $1\mathrm{/}2002$ 以上なら各段階で一定量以上減少することを示して矛盾させる。積分区間の長さと積分値の差を表す連続関数の最小値を使う。

(1)
$a_{m-1}>0$ なら $0<f(x)<1$ より$$0<{\int }_0^{a_{m-1}}f(x)dx<{\int }_0^{a_{m-1}}1dx=a_{m-1}\mathrm{.}$$したがって帰納的に$$1=a_1>a_2>\cdots >a_m>\cdots >0.$$(2)
すべての $m$ で $a_m\geqq \delta =1\mathrm{/}2002$ と仮定する。$$H(u)=u-{\int }_0^{u}f(x)dx$$とおくと、$u>0$ で $H(u)>0$ であり $H$ は連続である。ゆえに閉区間
$[\delta ,1]$ 上で $H$ は正の最小値 $\eta$ をもつ。仮定のもとでは$$a_{m-1}-a_m=H(a_{m-1})\geqq \eta \mathrm{.}$$したがって $a_m\leqq 1-(m-1)\eta$ となり、十分大きな $m$ では右辺が負になる。これは $a_m>0$ に矛盾する。よって$$a_m<{\displaystyle \frac{1}{2002}}$$となる $m$ が存在する。