名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

高さ $z=h$ にある点 $(X,Y,h)$ の影を求める。光源 $A(0,0,t)$ とこの点を結ぶ直線上の点は $\lambda (X,Y,h)+(1-\lambda )(0,0,t)$ と書ける。これが $xy$ 平面上にあるとき，$z$ 座標は $$\lambda h+(1-\lambda )t=0$$ を満たすので $$\lambda ={\displaystyle \frac{t}{t-h}}$$ である。よって影は $({\displaystyle \frac{t}{t-h}}X,{\displaystyle \frac{t}{t-h}}Y)$ である。

高さ $1$ の平面上の円 $(X-1{)}^2+(Y-1{)}^2=4$ は，倍率 $t\mathrm{/}(t-1)$ で写る。したがって $C$ は中心 $({\displaystyle \frac{t}{t-1}},{\displaystyle \frac{t}{t-1}})$ 半径 ${\displaystyle \frac{2t}{t-1}}$ の円である。また，高さ $2$ の平面上の直線 $X=1$ の影は $$l:x={\displaystyle \frac{t}{t-2}}$$ である。

(1) $C$ と $l$ が相異なる2点で交わる条件は，円の中心から直線 $l$ までの距離が半径より小さいことである。$t>2$ だから $${\displaystyle \frac{t}{t-2}}>{\displaystyle \frac{t}{t-1}}$$ であり，条件は $${\displaystyle \frac{t}{t-2}}-{\displaystyle \frac{t}{t-1}}<{\displaystyle \frac{2t}{t-1}}$$ である。左辺は ${\displaystyle \frac{t}{(t-2)(t-1)}}$ だから，正の数 $t\mathrm{/}(t-1)$ で割ると ${\displaystyle \frac{1}{t-2}}<2$ となる。よって $t>{\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。

(2)

円と直線の2交点を結ぶ弦は直線 $l$ 上にあり，その中点は円の中心から $l$ へ下ろした垂線の足である。したがって $$P=({\displaystyle \frac{t}{t-2}},{\displaystyle \frac{t}{t-1}})$$ である。 $P=(x,y)$ とおくと $$x={\displaystyle \frac{t}{t-2}}$$ より $$t={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$$ である。これを $y=t\mathrm{/}(t-1)$ に代入すると $$y={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2x}{x-1}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x-1}}-1}}={\displaystyle \frac{2x}{x+1}}$$ を得る。また $t>5\mathrm{/}2$ のとき，$x=t\mathrm{/}(t-2)$ は $1<x<5$ を満たす。

したがって点 $P$ の軌跡は $$y={\displaystyle \frac{2x}{x+1}},1<x<5$$ で表される曲線である。端点 $(5,5\mathrm{/}3)$ は接する場合に対応するので含まず，$x=1$ は $t\to \mathrm{\infty }$ の極限であり含まない。

高さ $h$ の平面から $xy$ 平面への中心射影を相似比で捉える。交点条件を倍率だけで処理した後、$u=1\mathrm{/}(t-2)$ を媒介変数にして中点の軌跡を消去する。

(1)

光源 $A$ と高さ $h$ の点を結ぶ直線を側面から見ると、相似より高さ $h$ の平面は$${\displaystyle \frac{t}{t-h}}$$倍に拡大されて $xy$ 平面へ写る。

したがって円の影 $C$ は$$\text{中心 }({\displaystyle \frac{t}{t-1}},{\displaystyle \frac{t}{t-1}}),\text{半径 }{\displaystyle \frac{2t}{t-1}},$$直線の影 $l$ は$$x={\displaystyle \frac{t}{t-2}}$$である。中心から $l$ までの距離が半径より小さい条件は$${\displaystyle \frac{t}{t-2}}-{\displaystyle \frac{t}{t-1}}<{\displaystyle \frac{2t}{t-1}}\mathrm{.}$$$t>2$ のもとで整理すると$$t>{\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}$$(2)

弦の中点は円の中心から $l$ に下ろした垂線の足だから$$P=({\displaystyle \frac{t}{t-2}},{\displaystyle \frac{t}{t-1}})\mathrm{.}$$ここで$$u={\displaystyle \frac{1}{t-2}}$$とおくと$$x=1+2u,y={\displaystyle \frac{1+2u}{1+u}}\mathrm{.}$$第1式から $u=(x-1)\mathrm{/}2$ を第2式へ代入して$$y={\displaystyle \frac{2x}{x+1}}\mathrm{.}$$また $t>5\mathrm{/}2$ は $0<u<2$ と同値なので$$1<x<5.$$よって軌跡は$$y={\displaystyle \frac{2x}{x+1}},1<x<5$$であり、両端は含まない。