名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

二項定理より，正の整数 $j$ について$$(j+1{)}^5=j^5+{}_5{\mathrm{C}}_4{j}^4+{}_5{\mathrm{C}}_3{j}^3+{}_5{\mathrm{C}}_2{j}^2+{}_5{\mathrm{C}}_{1}j+1$$である。したがって$$(j+1{)}^5-j^5=1+{}_5{\mathrm{C}}_{1}j+{}_5{\mathrm{C}}_2{j}^2+{}_5{\mathrm{C}}_3{j}^3+{}_5{\mathrm{C}}_4{j}^4$$である。これを $j=1,2,\dots ,n$ について足すと，左辺は $$\sum _{j=1}^n\{(j+1{)}^5-j^5\}=(n+1{)}^5-1$$ となる。一方，右辺は$$S_0(n)+{}_5{\mathrm{C}}_1{S}_1(n)+{}_5{\mathrm{C}}_2{S}_2(n)+{}_5{\mathrm{C}}_3{S}_3(n)+{}_5{\mathrm{C}}_4{S}_4(n)$$である。よって $$(n+1{)}^5-1=\sum _{k=0}^4{}_5{\mathrm{C}}_k{S}_k(n)$$ となり，$$(n+1{)}^5=1+\sum _{k=0}^4{}_5{\mathrm{C}}_k{S}_k(n)$$ が成り立つ。

(2)

(1) の等式より $$5S_4(n)=(n+1{)}^5-1-S_0(n)-5S_1(n)-10S_2(n)-10S_3(n)$$ である。ここで $$S_0(n)=n,S_1(n)={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},$$ $$S_2(n)={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}},S_3(n)={\left\{{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\right\}}^2$$を代入する。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 5S_4(n)}& {\displaystyle =(n+1{)}^5-1-n-{\displaystyle \frac{5n(n+1)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{10n(n+1)(2n+1)}{6}}-{\displaystyle \frac{10n^2(n+1{)}^2}{4}}}\end{array}$$である。これを整理すると $$5S_4(n)={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{6}}$$ となる。したがって $$S_4(n)={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}$$ である。展開すれば $$S_4(n)={\displaystyle \frac{1}{5}}{n}^5+{\displaystyle \frac{1}{2}}{n}^4+{\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^3-{\displaystyle \frac{1}{30}}n$$ であり，確かに $n$ の5次多項式である。

差を足すと中間項が消える

(1) は右辺を $n$ の関数と見て、隣り合う差と初期値から帰納的に示す。
(2) は $S_4(n)$ を未知の5次多項式とおき、差が $n^4$ になるよう係数を比較する。

(1) $$T_n=1+\sum _{k=0}^4{}_5{\mathrm{C}}_k{S}_k(n)$$とおく。$S_k(n)-S_k(n-1)=n^k$ だから$$T_n-T_{n-1}=\sum _{k=0}^4{}_5{\mathrm{C}}_k{n}^k=(n+1{)}^5-n^5\mathrm{.}$$また $T_0=1$ である。したがって順に足せば $T_n=(n+1{)}^5$ となり、与えられた等式が成り立つ。

(2) $$S_4(n)=A{n}^5+B{n}^4+C{n}^3+D{n}^2+En+F$$とおく。$S_4(0)=0$ より $F=0$ である。また$$S_4(n)-S_4(n-1)=n^4\mathrm{.}$$各べきの差を展開し、$n^4,n^3,n^2,n,1$ の係数を比較すると$$5A=1,-10A+4B=0,10A-6B+3C=0,$$$$-5A+4B-3C+2D=0,A-B+C-D+E=0.$$よって$$A={\displaystyle \frac{1}{5}},B={\displaystyle \frac{1}{2}},C={\displaystyle \frac{1}{3}},D=0,E=-{\displaystyle \frac{1}{30}}\mathrm{.}$$したがって$$S_4(n)={\displaystyle \frac{1}{5}}{n}^5+{\displaystyle \frac{1}{2}}{n}^4+{\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^3-{\displaystyle \frac{1}{30}}n$$である。因数分解すると$$S_4(n)={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}$$となる。