名古屋大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$n=1$ では $S_k(1)=1$ だから、二項定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m(1)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^m-{}_m{\mathrm{C}}_0-{}_m{\mathrm{C}}_m}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^m-2.}\end{array}$$$n=2$ では $S_k(2)=1+2^k$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m(2)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k(1+2^k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k+\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k{2}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^m-2)+(3^m-1-2^m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^m-3.}\end{array}$$(2)
有限和なので和の順序を交換できる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m(n)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k\sum _{j=1}^n{j}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k{j}^k\mathrm{.}}\end{array}$$二項定理から$$\sum _{k=1}^{m-1}{}_m{\mathrm{C}}_k{j}^k=(j+1{)}^m-j^m-1$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m(n)}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n\{(j+1{)}^m-j^m-1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1{)}^m-1-n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1{)}^m-n-1.}\end{array}$$(3)
(2)で $n=p-1$ とすると$$\begin{array}{cccc}& T_m(p-1)=p^m-p,& & \text{(1)}\end{array}$$したがって $T_m(p-1)$ は $p$ の倍数である。

$m=2$ のとき$$T_2(p-1)=2S_1(p-1)\mathrm{.}$$$p\geqq 7$ は素数なので $p$ は2を割らない。(1)より $p\mid 2S_1(p-1)$ であるから$$p\mid S_1(p-1)\mathrm{.}$$$m=3$ のとき$$T_3(p-1)=3S_1(p-1)+3S_2(p-1)\mathrm{.}$$左辺と第1項は $p$ の倍数である。よって $p\mid 3S_2(p-1)$ であり、$p\nmid 3$ だから$$p\mid S_2(p-1)\mathrm{.}$$同様に $m=4$ とすると$$T_4(p-1)=4S_1(p-1)+6S_2(p-1)+4S_3(p-1)\mathrm{.}$$すでに最初の2項は $p$ の倍数で、$p\nmid 4$ だから$$p\mid S_3(p-1)\mathrm{.}$$さらに $m=5$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_5(p-1)=}& {\displaystyle 5S_1(p-1)+10S_2(p-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +10S_3(p-1)+5S_4(p-1)\mathrm{.}}\end{array}$$最初の3項は $p$ の倍数であり、$p\nmid 5$ だから$$p\mid S_4(p-1)\mathrm{.}$$以上より$$S_1(p-1),S_2(p-1),S_3(p-1),S_4(p-1)$$はいずれも $p$ の倍数である。