名古屋大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$O$ を原点、$A=(1,0)$ とする。点 $P$ は半径1の円周を弧長 $t$ だけ進むから偏角は $t$ である。点 $Q$ は半径2の円周を弧長 $t$ だけ進むので、偏角は $t\mathrm{/}2$ である。したがって$$P=(\cos t,\sin t),Q=(2\cos \frac{t}{2},2\sin \frac{t}{2})\mathrm{.}$$$\mathrm{△}APQ$ の面積を $S$ とする。座標による三角形の面積公式から$$\begin{array}{cccc}& 2S=\mid (\cos t-1)2\sin \frac{t}{2}-\sin t(2\cos \frac{t}{2}-1)\mid \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$$u=\frac{t}{2}$$とおくと、$\cos t=2{\cos }^{2}u-1$、$\sin t=2\sin u\cos u$ である。(1)の絶対値の中を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2(\cos t-1)\sin u-\sin t(2\cos u-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sin u({\cos }^{2}u-1)-2\sin u\cos u(2\cos u-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sin u(\cos u-2)\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{cccc}& S^2={\sin }^{2}u(\cos u-2{)}^2\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$$0\leqq t\leqq 4\pi$ なので $0\leqq u\leqq 2\pi$ である。$$x=\cos u$$とおけば、$x$ は $[-1,1]$ のすべての値をとる。(2)より$$S^2=F(x),F(x)=(1-x^2)(x-2{)}^2\mathrm{.}$$微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-2x(x-2{)}^2+2(1-x^2)(x-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2(x-2)(2x^2-2x-1)\mathrm{.}}\end{array}$$$[-1,1]$ にある臨界点は$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$だけである。端点では $F(-1)=F(1)=0$、区間内部では $F(x)>0$ なので、この臨界点で最大となる。

この $x$ は $2x^2-2x-1=0$ を満たすから$$1-x^2=\frac{\sqrt{3}}{2},(x-2{)}^2=3+\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$したがって求める最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(3+\frac{3\sqrt{3}}{2})}& {\displaystyle =\frac{9}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9+6\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$同じ弧長を進むため、半径が2倍の $Q$ の回転角は $P$ の半分になる。