名古屋大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $a_1=a$ である。$0\leqq a<1\mathrm{/}2$ のとき $${\displaystyle [a+\frac{1}{2}]=0}$$ であるから $a_2=-2a$ である。一方，$1\mathrm{/}2\leqq a<1$ のとき $${\displaystyle [a+\frac{1}{2}]=1}$$ であるから $a_2=3-2a$ である。

したがって点 $(x,y)=(a_1,a_2)$ の軌跡は $${\displaystyle y=-2x(0\leqq x<\frac{1}{2})}$$ と $${\displaystyle y=3-2x(\frac{1}{2}\leqq x<1)}$$ である。前者は $(0,0)$ を含み $(1\mathrm{/}2,-1)$ を含まない線分，後者は $(1\mathrm{/}2,2)$ を含み $(1,1)$ を含まない線分である。

(2) $$a_n=m+u,m=[a_n],0\leqq u<1$$ とおく。仮定 $a_n-[a_n]\geqq 1\mathrm{/}2$ は $${\displaystyle u\geqq \frac{1}{2}}$$ を意味する。このとき $${\displaystyle [a_n+\frac{1}{2}]=m+1}$$ であるから $$a_{n+1}=3(m+1)-2(m+u)=m+3-2u$$ である。したがって $$a_{n+1}-a_n=(m+3-2u)-(m+u)=3(1-u)$$ である。$u<1$ より $a_{n+1}-a_n>0$ となるので $a_n<a_{n+1}$ である。

(3) $a_n>a_{n+1}$ とする。(2) の対偶より $${\displaystyle a_n-[a_n]<\frac{1}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle [a_n+\frac{1}{2}]=[a_n]}$$ であり，漸化式から $a_{n+1}=3[a_n]-2a_n$ である。

さらに $a_n=m+u$，$m=[a_n]$，$0\leqq u<1\mathrm{/}2$ とおく。もし $u=0$ なら $a_{n+1}=a_n$ となり，$a_n>a_{n+1}$ に反する。よって $${\displaystyle 0<u<\frac{1}{2}}$$ である。このとき $a_{n+1}=3m-2(m+u)=m-2u$ だから $m-1<a_{n+1}<m$ である。したがって $[a_{n+1}]=m-1=[a_n]-1$ である。

(4) $a_1>a_2>\cdots >a_k$ が成り立つとする。$a_1=a$ で $0\leqq a<1$ だから $[a_1]=0$ である。また (3) より，減少が1回起こるごとに整数部分は1だけ小さくなる。したがって $$[a_n]=1-n(1\leqq n\leqq k)$$ である。

特に $1\leqq n\leqq k-1$ では $$a_{n+1}=3[a_n]-2a_n=3(1-n)-2a_n$$ を満たす。ここで $${\displaystyle b_n=a_n+n-\frac{4}{3}}$$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =a_{n+1}+n+1-\frac{4}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(1-n)-2a_n+n+1-\frac{4}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2(a_n+n-\frac{4}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2b_n}\end{array}$$である。よって $b_n=(-2{)}^{n-1}{b}_1$ であり，$${\displaystyle b_1=a+1-\frac{4}{3}=a-\frac{1}{3}}$$ である。したがって $${\displaystyle a_n=(-2{)}^{n-1}(a-\frac{1}{3})-n+\frac{4}{3}}$$ である。特に $${\displaystyle a_k=(-2{)}^{k-1}(a-\frac{1}{3})-k+\frac{4}{3}}$$ である。

(1) 〜(3) は小数部分で分岐する。(4) は減少時の整数部分 $[a_n]=1-n$ を使って明示式を推測し，数学的帰納法で確定する。

(1) $0\leqq a<1\mathrm{/}2$ では $a_2=-2a$，$1\mathrm{/}2\leqq a<1$ では $a_2=3-2a$ である。したがって軌跡は解法1の図の2線分となる。

(2) $a_n=m+u$，$m=[a_n]$，$0\leqq u<1$ と分ける。$u\geqq 1\mathrm{/}2$ なら $a_{n+1}-a_n=3(1-u)>0$ であるから，$a_n<a_{n+1}$ である。

(3) $a_n>a_{n+1}$ なら (2) の対偶から $0\leqq u<1\mathrm{/}2$ であり，$u=0$ では等号となるので実際には $0<u<1\mathrm{/}2$ である。このとき $a_{n+1}=3[a_n]-2a_n$，$[a_{n+1}]=[a_n]-1$ となる。

(4) $a_1>a_2>\cdots >a_k$ とする。$[a_1]=0$ と (3) から $$[a_n]=1-n(1\leqq n\leqq k)$$ である。したがって減少が続く間は $a_{n+1}=3(1-n)-2a_n$ である。最初の数項は$$a_1=a,a_2=-2a,a_3=4a-3,a_4=-8a$$となるので$$a_n=(-2{)}^{n-1}(a-\frac{1}{3})-n+\frac{4}{3}$$を予想する。

実際，$n=1$ では右辺は $a$ である。$n$ で成り立つと仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =3(1-n)-2\{(-2{)}^{n-1}(a-\frac{1}{3})-n+\frac{4}{3}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-2{)}^n(a-\frac{1}{3})-(n+1)+\frac{4}{3}}\end{array}$$となるから，数学的帰納法により明示式が確定する。よって$$a_k=(-2{)}^{k-1}(a-\frac{1}{3})-k+\frac{4}{3}$$である。