名古屋大学 2021年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0 ≦ a < 1$ を満たす実数 $a$ に対し，数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = a, a_{n + 1} = 3 [a_{n} + \frac{1}{2}] - 2 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

という漸化式で定める。ただし $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。以下の問に答えよ。

(1) $a$ が $0 ≦ a < 1$ の範囲を動くとき，点 $(x, y) = (a_{1}, a_{2})$ の軌跡を $x y$ 平面上に図示せよ。

(2) $a_{n} - [a_{n}] ≧ \frac{1}{2}$ ならば， $a_{n} < a_{n + 1}$ であることを示せ。

(3) $a_{n} > a_{n + 1}$ ならば， $a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n}$ かつ $[a_{n + 1}] = [a_{n}] - 1$ であることを示せ。

(4) ある2以上の自然数 $k$ に対して， $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{k}$ が成り立つとする。このとき $a_{k}$ を $a$ の式で表せ。

出典：名古屋大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

解法1（整数部分を追って一次漸化式へ直す）

床関数は整数部分と小数部分に分けて処理する。 $a_{n} = m + u$ ， $m = [a_{n}]$ ， $0 ≦ u < 1$ とおくと， $[a_{n} + 1/2]$ は $u < 1/2$ なら $m$ ， $u ≧ 1/2$ なら $m + 1$ である。(1) は初項 $0 ≦ a < 1$ を2区間に分けて直接描く。(2)(3) は小数部分が $1/2$ 以上なら増加し，減少するなら小数部分が $0 < u < 1/2$ となって整数部分が1下がることを示す。(4) は減少が続く間 $[a_{n}] = 1 - n$ となるため，一次漸化式を解く。

解法2（明示式を推測して数学的帰納法で確定する）

(1)〜(3) は小数部分で分岐する。(4) は減少時の整数部分 $[a_{n}] = 1 - n$ を使って明示式を推測し，数学的帰納法で確定する。

解答

解法1（整数部分を追って一次漸化式へ直す）

(1)

$a_{1} = a$ である。 $0 ≦ a < 1/2$ のとき $[a + \frac{1}{2}] = 0$ であるから $a_{2} = - 2 a$ である。一方， $1/2 ≦ a < 1$ のとき $[a + \frac{1}{2}] = 1$ であるから $a_{2} = 3 - 2 a$ である。

したがって点 $(x, y) = (a_{1}, a_{2})$ の軌跡は $y = - 2 x (0 ≦ x < \frac{1}{2})$ と $y = 3 - 2 x (\frac{1}{2} ≦ x < 1)$ である。前者は $(0, 0)$ を含み $(1/2, - 1)$ を含まない線分，後者は $(1/2, 2)$ を含み $(1, 1)$ を含まない線分である。

(2)

$a_{n} = m + u, m = [a_{n}], 0 ≦ u < 1$ とおく。仮定 $a_{n} - [a_{n}] ≧ 1/2$ は $u ≧ \frac{1}{2}$ を意味する。このとき $[a_{n} + \frac{1}{2}] = m + 1$ であるから $a_{n + 1} = 3 (m + 1) - 2 (m + u) = m + 3 - 2 u$ である。したがって $a_{n + 1} - a_{n} = (m + 3 - 2 u) - (m + u) = 3 (1 - u)$ である。 $u < 1$ より $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ となるので $a_{n} < a_{n + 1}$ である。

(3)

$a_{n} > a_{n + 1}$ とする。(2) の対偶より $a_{n} - [a_{n}] < \frac{1}{2}$ である。したがって $[a_{n} + \frac{1}{2}] = [a_{n}]$ であり，漸化式から $a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n}$ である。

さらに $a_{n} = m + u$ ， $m = [a_{n}]$ ， $0 ≦ u < 1/2$ とおく。もし $u = 0$ なら $a_{n + 1} = a_{n}$ となり， $a_{n} > a_{n + 1}$ に反する。よって $0 < u < \frac{1}{2}$ である。このとき $a_{n + 1} = 3 m - 2 (m + u) = m - 2 u$ だから $m - 1 < a_{n + 1} < m$ である。したがって $[a_{n + 1}] = m - 1 = [a_{n}] - 1$ である。

(4)

$a_{1} > a_{2} > \dots > a_{k}$ が成り立つとする。 $a_{1} = a$ で $0 ≦ a < 1$ だから $[a_{1}] = 0$ である。また (3) より，減少が1回起こるごとに整数部分は1だけ小さくなる。したがって $[a_{n}] = 1 - n (1 ≦ n ≦ k)$ である。

特に $1 ≦ n ≦ k - 1$ では $a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n} = 3 (1 - n) - 2 a_{n}$ を満たす。ここで $b_{n} = a_{n} + n - \frac{4}{3}$ とおくと

b_{n + 1} = a_{n + 1} + n + 1 - \frac{4}{3} = 3 (1 - n) - 2 a_{n} + n + 1 - \frac{4}{3} = - 2 (a_{n} + n - \frac{4}{3}) = - 2 b_{n}

である。よって $b_{n} = (- 2)^{n - 1} b_{1}$ であり， $b_{1} = a + 1 - \frac{4}{3} = a - \frac{1}{3}$ である。したがって $a_{n} = (- 2)^{n - 1} (a - \frac{1}{3}) - n + \frac{4}{3}$ である。特に $a_{k} = (- 2)^{k - 1} (a - \frac{1}{3}) - k + \frac{4}{3}$ である。

解法2（明示式を推測して数学的帰納法で確定する）

(1)

$0 ≦ a < 1/2$ では $a_{2} = - 2 a$ ， $1/2 ≦ a < 1$ では $a_{2} = 3 - 2 a$ である。したがって軌跡は解法1の図の2線分となる。

(2)

$a_{n} = m + u$ ， $m = [a_{n}]$ ， $0 ≦ u < 1$ と分ける。 $u ≧ 1/2$ なら $a_{n + 1} - a_{n} = 3 (1 - u) > 0$ であるから， $a_{n} < a_{n + 1}$ である。

(3)

$a_{n} > a_{n + 1}$ なら (2) の対偶から $0 ≦ u < 1/2$ であり， $u = 0$ では等号となるので実際には $0 < u < 1/2$ である。このとき $a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n}$ ， $[a_{n + 1}] = [a_{n}] - 1$ となる。

(4)

$a_{1} > a_{2} > \dots > a_{k}$ とする。 $[a_{1}] = 0$ と (3) から $[a_{n}] = 1 - n (1 ≦ n ≦ k)$ である。したがって減少が続く間は $a_{n + 1} = 3 (1 - n) - 2 a_{n}$ である。最初の数項は

a_{1} = a, a_{2} = - 2 a, a_{3} = 4 a - 3, a_{4} = - 8 a

となるので

a_{n} = (- 2)^{n - 1} (a - \frac{1}{3}) - n + \frac{4}{3}

を予想する。

実際， $n = 1$ では右辺は $a$ である。 $n$ で成り立つと仮定すると

a_{n + 1} = 3 (1 - n) - 2 {(- 2)^{n - 1} (a - \frac{1}{3}) - n + \frac{4}{3}} = (- 2)^{n} (a - \frac{1}{3}) - (n + 1) + \frac{4}{3}

となるから，数学的帰納法により明示式が確定する。よって

a_{k} = (- 2)^{k - 1} (a - \frac{1}{3}) - k + \frac{4}{3}

である。

名古屋大学 2021年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（整数部分を追って一次漸化式へ直す）

解法2（明示式を推測して数学的帰納法で確定する）

解答

解法1（整数部分を追って一次漸化式へ直す）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（明示式を推測して数学的帰納法で確定する）

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2021年度
理系数学第4問