名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

定義より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1}& {\displaystyle ={\int }_{a_n}^{a_{n+1}}{x}^{-1\mathrm{/}3}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{2\mathrm{/}3}\right]}_{a_n}^{a_{n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}(a_{n+1}^{2\mathrm{/}3}-a_n^{2\mathrm{/}3})\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$a_{n+1}^{2\mathrm{/}3}-a_n^{2\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$$a_1^{2\mathrm{/}3}=1$であるから，$\{a_n^{2\mathrm{/}3}\}$は初項$1$，公差$2\mathrm{/}3$の等差数列である。よって$$a_n^{2\mathrm{/}3}=1+{\displaystyle \frac{2}{3}}(n-1)={\displaystyle \frac{2n+1}{3}}\mathrm{.}$$$a_n>0$より$$a_n={\left({\displaystyle \frac{2n+1}{3}}\right)}^{3\mathrm{/}2},a_n^{1\mathrm{/}3}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2n+1}{3}}}\mathrm{.}$$円板法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_n}& {\displaystyle =\pi {\int }_{a_n}^{a_{n+1}}{y}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_{a_n}^{a_{n+1}}{x}^{-2\mathrm{/}3}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\pi (a_{n+1}^{1\mathrm{/}3}-a_n^{1\mathrm{/}3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{3}\pi (\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1})\mathrm{.}}\end{array}$$平方根の差を有理化すると$$V_n={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+1}}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}{V}_n}& {\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{\sqrt{2+3\mathrm{/}n}+\sqrt{2+1\mathrm{/}n}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{2\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める極限は$$\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$$である。