問題
を正の整数とし，次の整式を展開してと表す。
(1) 等式を示せ。
(2) 等式
を示せ。ただし，は二項係数である。
(3) に対して，等式を示せ。
出典：名古屋大学 2023年度 前期日程 一般選抜 理系 第4問
方針
解法1（標準解法）
(1) は係数和なので を計算する。(2) は に を代入し，二項定理で各 を展開する。(3) は(2)の の係数を左辺として読み取り，一方で と書いて右辺の係数を読む。次数が1つずれるため になる点に注意する。
別解（導関数で係数を直接取り出す）
整式の の係数が 階導関数の での値を で割ったものになることを使う。 を の係数表示から微分した値と， の係数表示から読んだ値で比較する。
解答
解法1（標準解法）
(1)
に を代入すると である。一方，定義より である。したがって が成り立つ。
(2)
であるから， を に置き換えると である。二項定理より なので
である。これは問題の等式そのものである。
(3)
(2)の右辺から の係数を読む。 の中で の係数は， のとき ， のとき0である。したがって の係数は である。
一方，定義から である。また だから である。ここで なので である。この式の の係数は，，すなわち に対応する である。
同じ整式 の の係数を比較して を得る。
別解（導関数で係数を直接取り出す）
(1)
(2)
の両辺で を に替えれば
各項に二項定理を用いると，問題文の等式を得る。
(3)
整式 の の係数は である。 とおくと
一方
この整式の の係数は である。二つの係数表示を比較して
を得る。