名古屋大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第4問

(1) $$P_n(x)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m{x}^m$$ に $x=1$ を代入すると $$P_n(1)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m$$ である。一方，定義より $$P_n(1)=1\cdot 2\cdot 3\cdots n=n!$$ である。したがって ${\sum }_{m=1}^n{}_n{B}_m=n!$ が成り立つ。

(2) $$P_n(x)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m{x}^m$$ であるから，$x$ を $x+1$ に置き換えると $$P_n(x+1)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m(x+1{)}^m$$ である。二項定理より $$(x+1{)}^m={}_m{\mathrm{C}}_0+{}_m{\mathrm{C}}_{1}x+\cdots +{}_m{\mathrm{C}}_m{x}^m$$ なので$$P_n(x+1)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m({}_m{\mathrm{C}}_0+{}_m{\mathrm{C}}_{1}x+\cdots +{}_m{\mathrm{C}}_m{x}^m)$$である。これは問題の等式そのものである。

(3)
(2)の右辺から $x^k$ の係数を読む。$(x+1{)}^j$ の中で $x^k$ の係数は，$j\geqq k$ のとき ${}_j{\mathrm{C}}_k$，$j<k$ のとき0である。したがって $x^k$ の係数は $$\sum _{j=k}^n{}_n{B}_j\cdot {}_j{\mathrm{C}}_k$$ である。

一方，定義から $$P_n(x+1)=(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$$ である。また $$P_{n+1}(x)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$$ だから $$P_n(x+1)=\frac{P_{n+1}(x)}{x}$$ である。ここで $$P_{n+1}(x)=\sum _{m=1}^{n+1}{}_{n+1}{B}_m{x}^m$$ なので $$\frac{P_{n+1}(x)}{x}=\sum _{m=1}^{n+1}{}_{n+1}{B}_m{x}^{m-1}$$ である。この式の $x^k$ の係数は，$m-1=k$，すなわち $m=k+1$ に対応する ${}_{n+1}{B}_{k+1}$ である。

同じ整式 $P_n(x+1)$ の $x^k$ の係数を比較して $$\sum _{j=k}^n{}_n{B}_j\cdot {}_j{\mathrm{C}}_k={}_{n+1}{B}_{k+1}$$ を得る。

整式の $x^k$ の係数が $k$ 階導関数の $x=0$ での値を $k!$ で割ったものになることを使う。$P_n(x+1)$ を $P_n$ の係数表示から微分した値と，$P_{n+1}(x)\mathrm{/}x$ の係数表示から読んだ値で比較する。

(1) $$\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m=P_n(1)=1\cdot 2\cdots n=n!\mathrm{.}$$(2)$$P_n(x)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m{x}^m$$ の両辺で $x$ を $x+1$ に替えれば$$P_n(x+1)=\sum _{m=1}^n{}_n{B}_m(x+1{)}^m\mathrm{.}$$各項に二項定理を用いると，問題文の等式を得る。

(3)
整式 $F(x)$ の $x^k$ の係数は $F^{(k)}(0)\mathrm{/}k!$ である。$F(x)=P_n(x+1)$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{F^{(k)}(0)}{k!}}& {\displaystyle =\frac{1}{k!}\sum _{j=k}^n{}_n{B}_j\frac{j!}{(j-k)!}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=k}^n{}_n{B}_j{}_j{\mathrm{C}}_k\mathrm{.}}\end{array}$$一方$$F(x)=P_n(x+1)=\frac{P_{n+1}(x)}{x}=\sum _{m=1}^{n+1}{}_{n+1}{B}_m{x}^{m-1}\mathrm{.}$$この整式の $x^k$ の係数は ${}_{n+1}{B}_{k+1}$ である。二つの係数表示を比較して$$\sum _{j=k}^n{}_n{B}_j{}_j{\mathrm{C}}_k={}_{n+1}{B}_{k+1}$$を得る。