名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

まず、半径 $r$、$s$ の2つの円がともに $x$ 軸に接し、互いに外接している場合を考える。中心の高さはそれぞれ $r$、$s$ であり、中心間の距離は $r+s$ である。中心間の水平距離を $h$ とすると $h^2+(r-s{)}^2=(r+s{)}^2$ である。したがって $h^2=4rs$ より $$h=2\sqrt{rs}$$ である。

いま $C_{n+2}$ は $C_n$ と $C_{n+1}$ の間の、2つの弧と $x$ 軸で囲まれる部分にある。したがって、$C_n$ と $C_{n+1}$ の中心間の水平距離は、$C_n$ と $C_{n+2}$、および $C_{n+2}$ と $C_{n+1}$ の中心間の水平距離の和である。

よって $$2\sqrt{r_n{r}_{n+1}}=2\sqrt{r_n{r}_{n+2}}+2\sqrt{r_{n+1}{r}_{n+2}}$$ が成り立つ。両辺を $2\sqrt{r_n{r}_{n+1}{r}_{n+2}}$ で割ると$$\frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$$を得る。

(2) $$u_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$$ とおく。(1) より $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ である。また $r_1=r_2=1$ だから $u_1=u_2=1$ である。

特性方程式は ${\lambda }^2=\lambda +1$ すなわち ${\lambda }^2-\lambda -1=0$ である。2つの解を $$\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ とおく。このとき $$u_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\sqrt{5}}$$ は $u_1=u_2=1$ を満たし、かつ漸化式も満たす。

したがって、条件を満たす一組として$$\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2},s=\frac{1}{\sqrt{5}},t=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$をとればよい。

(3)

(2) より$$r_n=\frac{5}{({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2}=\frac{5{\alpha }^{-2n}}{{(1-(\beta \mathrm{/}\alpha {)}^n)}^2}\mathrm{.}$$ここで $\mathrm{\mid }\beta \mathrm{/}\alpha \mathrm{\mid }<1$ である。したがって $r_n\mathrm{/}{k}^n$ が正の有限値へ収束するためには ${\alpha }^{-2}\mathrm{/}k=1$、すなわち$$k={\alpha }^{-2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$でなければならない。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{r_n}{k^n}}& {\displaystyle =r_n{\alpha }^{2n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5{\alpha }^{2n}}{({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{{(1-(\beta \mathrm{/}\alpha {)}^n)}^2}}\end{array}$$である。$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{/}\alpha \mathrm{\mid }<1$ なので極限は $5$ である。したがって$$k=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{r_n}{k^n}=5$$である。