名古屋大学 2017年度理系数学第1問解答・解説

問題

不等式 $0 < a < 1$ を満たす定数 $a$ に対して、曲線

C : y = a - 1 - lo g x (x > 0)

を考える。

$s$ を正の実数とし、曲線 $C$ 上の点

P (s, a - 1 - lo g s)

における接線が $x$ 軸、 $y$ 軸と交わる点を、それぞれ $(u (s), 0)$ 、 $(0, v (s))$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

必要があれば、

x \to + 0 lim x lo g x = 0

を証明なしで用いてよい。

(1) 関数 $u (s), v (s)$ を $s$ の式で表せ。

(2) 関数 $t = u (s)$ 、 $t = v (s)$ の2つのグラフを、増減・凹凸および交点の座標に注意して、同じ $s t$ 平面上に図示せよ。

(3) 関数 $t = u (s)$ 、 $t = v (s)$ の2つのグラフで囲まれた図形を $t$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

出典：名古屋大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

接線の傾きは $- 1/ s$ なので，接線方程式から $x$ 切片 $u (s)$ と $y$ 切片 $v (s)$ を求める。グラフでは $v$ の単調減少・下に凸， $u$ の上に凸・最大点・零点を確認し，交点は $(s - 1) (a - lo g s) = 0$ から $s = 1, e^{a}$ である。(3)では囲まれた領域が $1 ≦ s ≦ e^{a}$ にあり，この範囲で $u ≧ v$ となることを確認する。回転軸は $t$ 軸なので，円筒殻の半径 $s$ ，高さ $u - v$ で体積を積分する。

解法2

(1)(2)は接線の切片と導関数を整理し、交点・極値を図中にも示す。(3)は円筒殻ではなく、 $t$ を固定した断面の円環で求める。区間 $1 ≦ s ≦ e^{a}$ では $u, v$ がともに単調減少するため、逆関数を陽に求めず、境界を媒介変数 $s$ のまま $π \int s^{2} d t$ で積分する。

解答

解法1

(1)

曲線 $C$ は $y = a - 1 - lo g x$ であり，導関数は $y^{'} = - \frac{1}{x}$ である。点 $P (s, a - 1 - lo g s)$ における接線は $y - (a - 1 - lo g s) = - \frac{1}{s} (x - s)$ すなわち $y = a - lo g s - \frac{x}{s}$ である。 $x$ 軸との交点では $y = 0$ だから $0 = a - lo g s - \frac{x}{s}$ より $u (s) = s (a - lo g s)$ である。また $y$ 軸との交点では $x = 0$ だから $v (s) = a - lo g s$ である。

(2)

まず $v (s) = a - lo g s$ について， $v^{'} (s) = - \frac{1}{s} < 0, v^{''} (s) = \frac{1}{s ^{2}} > 0$ である。したがって $v (s)$ は単調減少で下に凸であり， $s = e^{a}$ で $v = 0$ となる。

次に $u (s) = s (a - lo g s)$ について， $u^{'} (s) = a - lo g s - 1, u^{''} (s) = - \frac{1}{s} < 0$ である。したがって $u (s)$ は上に凸で， $u^{'} (s) = 0$ となる $s = e^{a - 1}$ で最大値 $u (e^{a - 1}) = e^{a - 1}$ をとる。また $u (s) = 0$ となるのは $s = e^{a}$ である。

2つのグラフの交点は $s (a - lo g s) = a - lo g s$ より $(s - 1) (a - lo g s) = 0$ である。したがって $(s, t) = (1, a), (e^{a}, 0)$ で交わる。なお $0 < a < 1$ より $e^{a - 1} < 1 < e^{a}$ である。以上の増減，凹凸，交点を同じ $s t$ 平面上に示せばよい。

(3)

$1 ≦ s ≦ e^{a}$ では $a - lo g s ≧ 0$ かつ $s ≧ 1$ なので $u (s) - v (s) = (s - 1) (a - lo g s) ≧ 0$ である。したがってこの範囲で上側が $u (s)$ ，下側が $v (s)$ である。 $t$ 軸のまわりに回転するので，円筒殻を用いる。半径は $s$ ，高さは $u (s) - v (s)$ であるから，体積 $V$ は

V = 2 π \int_{1}^{e^{a}} s {u (s) - v (s)} d s = 2 π \int_{1}^{e^{a}} s (s - 1) (a - lo g s) d s

である。

積分を $\int s (s - 1) (a - lo g s) d s = \int (s^{2} - s) (a - lo g s) d s$ として計算する。部分積分により

\int s^{2} lo g s d s = \frac{s ^{3}}{3} lo g s - \frac{s ^{3}}{9}, \int s lo g s d s = \frac{s ^{2}}{2} lo g s - \frac{s ^{2}}{4}

である。したがって

\int (s^{2} - s) (a - lo g s) d s = \frac{a s ^{3}}{3} - \frac{a s ^{2}}{2} - \frac{s ^{3}}{3} lo g s + \frac{s ^{3}}{9} + \frac{s ^{2}}{2} lo g s - \frac{s ^{2}}{4}

である。これを $1$ から $e^{a}$ まで代入して整理すると $\int_{1}^{e^{a}} s (s - 1) (a - lo g s) d s = \frac{4 e ^{3 a} - 9 e ^{2 a} + 6 a + 5}{36}$ である。よって $V = \frac{π}{18} {4 e^{3 a} - 9 e^{2 a} + 6 a + 5}$ である。

解法2

(1)

接線は

y = a - lo g s - \frac{x}{s}

だから

u (s) = s (a - lo g s), v (s) = a - lo g s .

(2)

u^{'} (s) v^{'} (s) = a - lo g s - 1, = - \frac{1}{s} < 0, u^{''} (s) v^{''} (s) = - \frac{1}{s} < 0, = \frac{1}{s ^{2}} > 0.

したがって $u$ は上に凸で、 $s = e^{a - 1}$ において最大値 $e^{a - 1}$ をとる。 $v$ は単調減少で下に凸である。交点は

(s - 1) (a - lo g s) = 0

より

(1, a), (e^{a}, 0) .

また $0 < a < 1$ なので

e^{a - 1} < 1 < e^{a} .

実線が $t = u (s)$ 、破線が $t = v (s)$ の概形である。

(3)

$1 ≦ s ≦ e^{a}$ では $u, v$ はともに単調減少する。高さ $t$ の断面は、外側が $u$ 側、内側が $v$ 側の円環である。両境界の半径を $s_{u} (t), s_{v} (t)$ と書くと

V = π \int_{0}^{a} {s_{u} (t)^{2} - s_{v} (t)^{2}} d t .

境界を $t = u (s), v (s)$ と媒介変数表示すれば

V = π {- \int_{1}^{e^{a}} s^{2} u^{'} (s) d s + \int_{1}^{e^{a}} s^{2} v^{'} (s) d s} = π \int_{1}^{e^{a}} s^{2} {v^{'} (s) - u^{'} (s)} d s .

両端で $u - v = 0$ であることを用いて部分積分すると

V = - π \int_{1}^{e^{a}} s^{2} (u - v)^{'} d s = 2 π \int_{1}^{e^{a}} s (u - v) d s = 2 π \int_{1}^{e^{a}} s (s - 1) (a - lo g s) d s .

最後の積分は

\frac{4 e ^{3 a} - 9 e ^{2 a} + 6 a + 5}{36}

だから

V = \frac{π}{18} (4 e^{3 a} - 9 e^{2 a} + 6 a + 5) .

名古屋大学 2017年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2017年度
理系数学第1問