名古屋大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
曲線$C$は $y=a-1-\log x$ であり，導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{x}$ である。点$P(s,a-1-\log s)$における接線は $$y-(a-1-\log s)=-\frac{1}{s}(x-s)$$ すなわち $$y=a-\log s-\frac{x}{s}$$ である。 $x$軸との交点では$y=0$だから $$0=a-\log s-\frac{x}{s}$$ より $u(s)=s(a-\log s)$ である。また$y$軸との交点では$x=0$だから $v(s)=a-\log s$ である。

(2)
まず $v(s)=a-\log s$ について，$$v^{\mathrm{\prime }}(s)=-\frac{1}{s}<0,v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)=\frac{1}{s^2}>0$$ である。したがって$v(s)$は単調減少で下に凸であり，$s=e^a$で$v=0$となる。

次に $u(s)=s(a-\log s)$ について，$$u^{\mathrm{\prime }}(s)=a-\log s-1,u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)=-\frac{1}{s}<0$$ である。したがって$u(s)$は上に凸で，$u^{\mathrm{\prime }}(s)=0$となる $s=e^{a-1}$ で最大値 $u(e^{a-1})=e^{a-1}$ をとる。また$u(s)=0$となるのは$s=e^a$である。

2つのグラフの交点は $s(a-\log s)=a-\log s$ より $(s-1)(a-\log s)=0$ である。したがって $$(s,t)=(1,a),(e^a,0)$$ で交わる。なお$0<a<1$より $e^{a-1}<1<e^a$ である。以上の増減，凹凸，交点を同じ$st$平面上に示せばよい。

(3) $1\leqq s\leqq e^a$では$a-\log s\geqq 0$かつ$s\geqq 1$なので $$u(s)-v(s)=(s-1)(a-\log s)\geqq 0$$ である。したがってこの範囲で上側が$u(s)$，下側が$v(s)$である。 $t$軸のまわりに回転するので，円筒殻を用いる。半径は$s$，高さは$u(s)-v(s)$であるから，体積$V$は$$V=2\pi {\int }_1^{e^a}s\{u(s)-v(s)\}ds=2\pi {\int }_1^{e^a}s(s-1)(a-\log s)ds$$である。

積分を $$\int s(s-1)(a-\log s)ds=\int (s^2-s)(a-\log s)ds$$ として計算する。部分積分により$$\int s^2\log sds=\frac{s^3}{3}\log s-\frac{s^3}{9},\int s\log sds=\frac{s^2}{2}\log s-\frac{s^2}{4}$$である。したがって$$\int (s^2-s)(a-\log s)ds=\frac{a{s}^3}{3}-\frac{a{s}^2}{2}-\frac{s^3}{3}\log s+\frac{s^3}{9}+\frac{s^2}{2}\log s-\frac{s^2}{4}$$である。これを$1$から$e^a$まで代入して整理すると $${\int }_1^{e^a}s(s-1)(a-\log s)ds=\frac{4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5}{36}$$ である。よって $$V=\frac{\pi }{18}\{4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5\}$$ である。

(1) (2)は接線の切片と導関数を整理し、交点・極値を図中にも示す。(3)は円筒殻ではなく、$t$ を固定した断面の円環で求める。区間 $1\leqq s\leqq e^a$ では $u,v$ がともに単調減少するため、逆関数を陽に求めず、境界を媒介変数 $s$ のまま $\pi \int s^{2}dt$ で積分する。

(1)
接線は$$y=a-\log s-\frac{x}{s}$$だから$$u(s)=s(a-\log s),v(s)=a-\log s\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle u^{\mathrm{\prime }}(s)}& {\displaystyle =a-\log s-1,}& {\displaystyle u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)}& {\displaystyle =-\frac{1}{s}<0,}\\ {\displaystyle v^{\mathrm{\prime }}(s)}& {\displaystyle =-\frac{1}{s}<0,}& {\displaystyle v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)}& {\displaystyle =\frac{1}{s^2}>0.}\end{array}$$したがって $u$ は上に凸で、$s=e^{a-1}$ において最大値 $e^{a-1}$ をとる。$v$ は単調減少で下に凸である。交点は$$(s-1)(a-\log s)=0$$より$$(1,a),(e^a,0)\mathrm{.}$$また $0<a<1$ なので$$e^{a-1}<1<e^a\mathrm{.}$$実線が $t=u(s)$、破線が $t=v(s)$ の概形である。

(3)
$1\leqq s\leqq e^a$ では $u,v$ はともに単調減少する。高さ $t$ の断面は、外側が $u$ 側、内側が $v$ 側の円環である。両境界の半径を $s_u(t),s_v(t)$ と書くと$$V=\pi {\int }_0^a\{s_u(t{)}^2-s_v(t{)}^2\}dt\mathrm{.}$$境界を $t=u(s),v(s)$ と媒介変数表示すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi \{-{\int }_1^{e^a}{s}^2{u}^{\mathrm{\prime }}(s)ds+{\int }_1^{e^a}{s}^2{v}^{\mathrm{\prime }}(s)ds\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_1^{e^a}{s}^2\{v^{\mathrm{\prime }}(s)-u^{\mathrm{\prime }}(s)\}ds\mathrm{.}}\end{array}$$両端で $u-v=0$ であることを用いて部分積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =-\pi {\int }_1^{e^a}{s}^2(u-v{)}^{\mathrm{\prime }}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_1^{e^a}s(u-v)ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_1^{e^a}s(s-1)(a-\log s)ds\mathrm{.}}\end{array}$$最後の積分は$$\frac{4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5}{36}$$だから$$V=\frac{\pi }{18}(4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5)\mathrm{.}$$