名古屋大学 2017年度理系数学第2問解答・解説

問題

下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点上を点 $P$ が次の規則で移動する。

時刻0では点 $P$ は頂点 $A$ にいる。時刻が1増えるごとに、点 $P$ は、今いる頂点と辺で結ばれている頂点へ等確率で移動する。例えば、時刻 $n$ で点 $P$ が頂点 $H$ にいるとすると、時刻 $n + 1$ では、それぞれ $\frac{1}{3}$ の確率で頂点 $D, E, G$ のいずれかにいる。

自然数 $n ≧ 1$ に対して、次の確率を定める。

(i) 点 $P$ が時刻 $n$ までの間に一度も頂点 $A$ に戻らず、かつ時刻 $n$ で頂点 $B, D, E$ のいずれかにいる確率を $p_{n}$ とする。

(ii) 点 $P$ が時刻 $n$ までの間に一度も頂点 $A$ に戻らず、かつ時刻 $n$ で頂点 $C, F, H$ のいずれかにいる確率を $q_{n}$ とする。

(iii) 点 $P$ が時刻 $n$ までの間に一度も頂点 $A$ に戻らず、かつ時刻 $n$ で頂点 $G$ にいる確率を $r_{n}$ とする。

このとき、次の問いに答えよ。

(1) $p_{2}, q_{2}, r_{2}$ および $p_{3}, q_{3}, r_{3}$ を求めよ。

(2) $n ≧ 2$ のとき、 $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ を求めよ。

(3) 自然数 $m ≧ 1$ に対して、点 $P$ が時刻 $2 m$ で頂点 $A$ に初めて戻る確率 $s_{m}$ を求めよ。

(4) 自然数 $m ≧ 2$ に対して、点 $P$ が時刻 $2 m$ で頂点 $A$ に戻るのがちょうど2回目となる確率を $t_{m}$ とする。このとき、 $t_{m} < s_{m}$ となる $m$ をすべて求めよ。

出典：名古屋大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1

(1)から(3)までは文系第2問と同じく，頂点を $A$ からの距離1，距離2，距離3の3状態にまとめ， $A$ へ戻らない確率の漸化式を立てる。偶奇で状態が分かれるため $q_{n + 2} = \frac{7}{9} q_{n}$ から一般項を得る。(4)では，2回目の帰還が時刻 $2 m$ で起こる事象を，初帰還時刻 $2 i$ と，その後の初帰還時刻 $2 (m - i)$ に分解する。したがって $t_{m}$ は $s_{i}$ の畳み込みになり， $m = 2, 3$ を個別に処理したあと， $m ≧ 4$ で不等式を比較する。

解法2

2歩を1ブロックとして非帰還経路を直接数える。距離2の群 $Q$ から2歩後にも $Q$ にいる非帰還経路は9通り中7通りなので、確率漸化式を解かず一般項が得られる。(4)は最初の帰還時刻で事象を分割し、初帰還確率の積を足す。端の $s_{1}$ と等比型の中央項を分ける。

解答

解法1

(1)

頂点 $A$ から辺の本数で距離1の頂点 $B, D, E$ の群を $P$ ，距離2の頂点 $C, F, H$ の群を $Q$ ，距離3の頂点 $G$ の群を $R$ と呼ぶ。

時刻1では必ず $P$ にいるので $p_{1} = 1, q_{1} = 0, r_{1} = 0$ である。 $P$ の各頂点からは，1本が $A$ へ，2本が $Q$ へ向かう。 $A$ へ戻る場合は $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ には含めないので $p_{2} = 0, q_{2} = \frac{2}{3}, r_{2} = 0$ である。 $Q$ の各頂点からは2本が $P$ へ，1本が $R$ へ向かうから $p_{3} = \frac{2}{3} q_{2} = \frac{4}{9}, q_{3} = 0, r_{3} = \frac{1}{3} q_{2} = \frac{2}{9}$ である。

(2)

$A$ へ戻らない道だけを追うと，遷移は

p_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + r_{n}, r_{n + 1} = \frac{1}{3} q_{n}

である。したがって

q_{n + 2} = \frac{2}{3} p_{n + 1} + r_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} q_{n} + \frac{1}{3} q_{n} = \frac{7}{9} q_{n}

である。 $q_{2} = 2/3$ より， $m ≧ 1$ について $q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ である。偶数時刻には $P, R$ にはいないので $p_{2 m} = 0, r_{2 m} = 0$ である。

また

p_{2 m + 1} = \frac{2}{3} q_{2 m} = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}, r_{2 m + 1} = \frac{1}{3} q_{2 m} = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}

であり， $q_{2 m + 1} = 0$ である。よって

p_{2 m} = 0, q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}, r_{2 m} = 0

p_{2 m + 1} = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}, q_{2 m + 1} = 0, r_{2 m + 1} = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}

を得る。

(3)

時刻 $2 m$ で初めて $A$ に戻るには，時刻 $2 m - 1$ まで $A$ に戻らず，その時刻に $P$ にいて，次の1歩で $A$ へ進めばよい。 $P$ から $A$ へ進む確率は $1/3$ である。

したがって $s_{1} = \frac{1}{3}$ であり， $m ≧ 2$ では $s_{m} = \frac{1}{3} p_{2 m - 1} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{m - 2}$ である。

(4)

時刻 $2 m$ で $A$ に戻るのがちょうど2回目であるためには，ある $i$ $(1 ≦ i ≦ m - 1)$ について，時刻 $2 i$ に初めて $A$ に戻り，そこからさらに $2 (m - i)$ 後に初めて $A$ に戻ればよい。 $A$ に戻った後は同じ条件で再出発するので $t_{m} = \sum_{i = 1}^{m - 1} s_{i} s_{m - i}$ である。

まず $t_{2} = s_{1}^{2} = \frac{1}{9}$ であり， $s_{2} = \frac{4}{27}$ だから $t_{2} < s_{2}$ である。また $t_{3} = s_{1} s_{2} + s_{2} s_{1} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{27} = \frac{8}{81}$ であり， $s_{3} = \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{9} = \frac{28}{243}$ だから $t_{3} < s_{3}$ である。

次に $m ≧ 4$ とする。 $s_{1} = 1/3$ と， $j ≧ 2$ で $s_{j} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{j - 2}$ を用いると，端の2項と中央の項に分けて $t_{m} = 2 s_{1} s_{m - 1} + \sum_{i = 2}^{m - 2} s_{i} s_{m - i}$ である。よって

t_{m} = \frac{8}{81} (\frac{7}{9})^{m - 3} + (m - 3) \frac{16}{729} (\frac{7}{9})^{m - 4}

となり，整理して $t_{m} = \frac{8 ( 2 m + 1 )}{729} (\frac{7}{9})^{m - 4}$ である。一方

s_{m} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{m - 2} = \frac{196}{2187} (\frac{7}{9})^{m - 4}

である。したがって $t_{m} < s_{m}$ は $\frac{8 ( 2 m + 1 )}{729} < \frac{196}{2187}$ すなわち $24 (2 m + 1) < 196$ と同値である。これは $48 m < 172$ を意味するので， $m ≧ 4$ では成り立たない。

以上より，求める $m$ は $m = 2, 3$ である。

解法2

頂点を $A$ からの距離でまとめ、距離1、2、3の頂点群を $P, Q, R$ とする。

(1)

最初の1歩で必ず $P$ に入る。 $P$ からは3本中2本が $Q$ 、1本が $A$ へ向かうから

(p_{2}, q_{2}, r_{2}) = (0, \frac{2}{3}, 0) .

さらに $Q$ からは3本中2本が $P$ 、1本が $R$ へ向かうので

(p_{3}, q_{3}, r_{3}) = (\frac{4}{9}, 0, \frac{2}{9}) .

(2)

$Q$ から2歩進み、途中で $A$ を通らず再び $Q$ に入る経路は

Q \to P \to Q

の $2 \cdot 2 = 4$ 通りと、

Q \to R \to Q

の $1 \cdot 3 = 3$ 通り、計7通りである。よって

q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1} .

偶数時刻には $P, R$ にいない。また $Q$ からの次の1歩を数えると

p_{2 m} p_{2 m + 1} = 0, = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}, q_{2 m} q_{2 m + 1} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}, = 0, r_{2 m} r_{2 m + 1} = 0, = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1} .

(3)

初帰還の直前には $P$ におり、最後に確率 $1/3$ で $A$ へ進む。したがって

s_{1} = \frac{1}{3}, s_{m} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{m - 2} (m ≧ 2) .

(4)

最初の帰還が時刻 $2 i$ 、そこから次の初帰還までが $2 (m - i)$ である事象へ分けると

t_{m} = i = 1 \sum m - 1 s_{i} s_{m - i} .

まず

t_{2} = \frac{1}{9} < \frac{4}{27} = s_{2},

また

t_{3} = \frac{8}{81} < \frac{28}{243} = s_{3} .

$m ≧ 4$ では両端と中央の項を分けて

t_{m} = 2 s_{1} s_{m - 1} + i = 2 \sum m - 2 s_{i} s_{m - i} = \frac{8}{81} (\frac{7}{9})^{m - 3} + (m - 3) \frac{16}{729} (\frac{7}{9})^{m - 4} = \frac{8 ( 2 m + 1 )}{729} (\frac{7}{9})^{m - 4} .

一方

s_{m} = \frac{196}{2187} (\frac{7}{9})^{m - 4} .

したがって $t_{m} < s_{m}$ は

24 (2 m + 1) < 196

と同値で、 $m ≧ 4$ では成立しない。よって

m = 2, 3

である。

名古屋大学 2017年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2017年度
理系数学第2問