問題
を自然数とする。0でない複素数からなる集合 が、次の条件 を満たしている。
集合 は 個の要素からなる。
集合 の要素 に対して、
はともに集合 の要素である。
集合 の要素 に対して、その積 は集合 の要素である。ただし、 の場合も含める。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) および は集合 の要素であることを示せ。
(2) は偶数であることを示せ。
(3) のとき、集合 は一通りに定まることを示し、その要素をすべて求めよ。
(4) のとき、集合 は一通りに定まることを示し、その要素をすべて求めよ。
方針
解法1
(1)は任意の元とその逆数の積からを作り，条件(II)でを得る。(2)は写像で元が2個ずつ組になることを使う。(3)(4)では，以外の元を取り，がすべて有限集合に入ることから，ある正整数でとなることを使う。では残り2元しかないので。では最小のが3,4,5,6のどれかに限られ，を矛盾で除いて，結局6乗して1になる複素数全体に定まることを示す。
解法2
任意の に対し、写像 が有限集合 の要素を並べ替えることを利用する。全要素の積を写像の前後で比較すると が得られる。よって は 乗して1になる複素数全体に一致し、 の集合を一度に決定できる。
解答
解法1
(1)
の要素を1つとる。条件(II)よりもの要素である。条件(III)より，これらの積 はの要素である。さらに条件(II)をに適用すると もの要素である。
(2)
条件(II)より，の任意の要素に対してもの要素である。しかもならであるが，の要素は0でないので，とは必ず異なる。
したがっての要素は という2個ずつの組に分けられる。よって要素数は偶数である。
(3)
とする。(1)よりである。残りの要素の1つをとすると，(2)よりも要素であり， と書ける。
条件(II)よりである。なので，はまたはのどちらかである。もしなら よりとなり矛盾する。したがって であり， を得る。よってであり，集合としては一通りに と定まる。
(4)
とする。以外の要素を1つ取り，それをとする。条件(III)より はすべての要素である。は有限集合なので，この列には同じ値が現れる。したがって，ある正の整数について となる。以下，そのようなのうち最小のものを考える。よりであり，または互いに異なるのでである。したがって のいずれかである。 は不可能である。このときであり，の4要素がすでにある。残りの要素の1つをとすると，も要素であり， である。ところがである。なら，なら，ならとなり，いずれもの取り方またはに反する。よって矛盾する。 も不可能である。は5個の異なる要素であり，さらにもに入る。これだけで6個である。しかしもに入る。もし が のいずれかに等しいなら、右辺の5乗は1である。一方
であり、矛盾する。したがって はこれら5個とも とも異なる新しい要素となり、要素数が6を超えてしまう。
よってまたはである。 のとき，が3個の異なる要素であり，さらにそれらの負の数 もに入る。これで6個あり，は である。ここでは1でない3乗根だから，これらは6乗して1になる複素数全体である。 のとき，が6個の異なる要素なので，はこの6個である。またで，だからである。したがって，この場合もは6乗して1になる複素数全体である。
以上より，のときは一通りに定まり，その要素は
である。
解法2
(1)
任意の に対して であり、積について閉じているから
さらに条件 を に適用して
(2)
なら である。 なら となるが、 の要素は0でない。よって要素は という2個ずつの組に分かれ、 は偶数である。
(3)(4)を同時に考える。
の要素を
とし、その積を とおく。すべての要素は0でないため である。
を固定する。条件 より、各 に対して である。また
なら より である。したがって
は の全要素を並べ替えたものである。
両者の全要素を掛け合わせると
左辺は だから
より
これはすべての に成り立つ。方程式 の解は相異なる 個であり、 も 個の要素をもつから、 は 乗して1になる複素数全体である。
(3)
のとき
(4)
のとき
いずれも集合として一通りに定まる。