名古屋大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AP}=(a,b,-2)$$ である。$$\overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AP}$$だから $$Q=A+t(P-A)=(0,0,2)+t(a,b,-2)$$ である。したがって点$Q$の座標は $(at,bt,2-2t)$ である。

(2)
球面$S$の方程式は $(x-2{)}^2+y^2+z^2=2$ である。(1)の$Q=(at,bt,2-2t)$を代入すると $$(at-2{)}^2+(bt{)}^2+(2-2t{)}^2=2$$ である。整理して $$(a^2+b^2+4)t^2-(4a+8)t+6=0$$ を得る。

直線$l$が球面$S$と相異なる2点で交わるための条件は，この$t$の2次方程式が相異なる2つの実数解をもつことである。したがって判別式が正であり，$$(4a+8{)}^2-24(a^2+b^2+4)>0$$ である。これを整理すると $(a-4{)}^2+3b^2<12$ となる。よって$ab$平面上では，中心$(4,0)$の楕円 $$\frac{(a-4{)}^2}{12}+\frac{b^2}{4}<1$$ の内部である。

別解。球面の中心を$C=(2,0,0)$とする。直線上の点$Q(t)=(at,bt,2-2t)$と$C$の距離の2乗は $(at-2{)}^2+(bt{)}^2+(2-2t{)}^2$ であり，これが$t$について最小になる値が半径の2乗$2$より小さいとき，直線は球面と相異なる2点で交わる。この最小値条件を計算しても，同じく $(a-4{)}^2+3b^2<12$ を得る。

(3) $T$は$S$のうち$z>0$の部分である。(1)の表示では $z=2-2t$ なので，$T$上の交点に対応する$t$は $t<1$ を満たす必要がある。

(2) で得た2次方程式を $$h(t)=(a^2+b^2+4)t^2-(4a+8)t+6$$ とおく。まず相異なる2点で球面と交わるために $(a-4{)}^2+3b^2<12$ が必要である。さらに，その2つの根がともに$1$より小さくなればよい。

上に開く2次関数で，2つの実根をもつとき，2根がともに$1$より小さいためには，$h(1)>0$であり，かつ2根の和が$<2$であればよい。まず $$h(1)=a^2+b^2+4-(4a+8)+6=(a-2{)}^2+b^2-2$$ より $(a-2{)}^2+b^2>2$ である。次に2根の和は $\frac{4a+8}{a^2+b^2+4}$ であるから，これが$<2$である条件は $4a+8<2(a^2+b^2+4)$ すなわち $(a-1{)}^2+b^2>1$ である。

したがって求める条件は $$(a-4{)}^2+3b^2<12,(a-2{)}^2+b^2>2,(a-1{)}^2+b^2>1$$ である。図示すると，楕円 $(a-4{)}^2+3b^2<12$ の内部から，円 $(a-2{)}^2+b^2\leqq 2$ および円 $(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$ に含まれる部分を除いた領域である。境界は，楕円側は含まず，2つの円周側も$z=0$または根の位置が端になるため含まない。

球の中心 $C$ から直線 $l$ までの距離を、$Q(t)$ と $C$ の距離の2乗の最小値として求める。(2)は最小距離が半径より小さい条件。(3)は交点を与える2根の中点と右側の根の位置に着目し、頂点が $t=1$ より左にあり、かつ $h(1)>0$ となる条件へ変える。楕円と2円の位置関係を図示する。

(1) $$Q(t)=A+t(P-A)=(at,bt,2-2t)\mathrm{.}$$(2)
球の中心を $C=(2,0,0)$ とする。距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D(t)}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }Q(t)-C{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(at-2{)}^2+b^2{t}^2+(2-2t{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2+b^2+4)t^2-(4a+8)t+8.}\end{array}$$直線と球面が相異なる2点で交わるのは、$D(t)$ の最小値が半径の2乗 $2$ より小さいときである。最小値の条件を整理すると$$(4a+8{)}^2>24(a^2+b^2+4),$$すなわち$$(a-4{)}^2+3b^2<12.$$(3)
球面との交点を与える方程式は$$h(t)=(a^2+b^2+4)t^2-(4a+8)t+6=0.$$$T$ 上では $z=2-2t>0$ だから、2根がともに $1$ より小さいことが必要十分である。

相異なる2実根をもつ条件のもとで、放物線 $y=h(t)$ の頂点が $t=1$ より左にあり、かつ $h(1)>0$ なら、$t=1$ は2根の右側にある。条件は$$\frac{2a+4}{a^2+b^2+4}<1,h(1)>0.$$これらを整理すると$$(a-1{)}^2+b^2>1,(a-2{)}^2+b^2>2.$$したがって求める領域は$$\{\begin{array}{l}(a-4{)}^2+3b^2<12,\\ (a-2{)}^2+b^2>2,\\ (a-1{)}^2+b^2>1.\end{array}$$灰色部分が求める領域であり、3本の境界はいずれも含まない。