名古屋大学 2017年度
理系数学 第3問

解答

解法1

(1)

$\overrightarrow{AP}=(a,b,-2)$ である。$\overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AP}$だから $Q=A+t(P-A)=(0,0,2)+t(a,b,-2)$ である。したがって点$Q$の座標は $(at,bt,2-2t)$ である。

(2)

球面$S$の方程式は $(x-2{)}^2+y^2+z^2=2$ である。(1)の$Q=(at,bt,2-2t)$を代入すると $(at-2{)}^2+(bt{)}^2+(2-2t{)}^2=2$ である。整理して $(a^2+b^2+4)t^2-(4a+8)t+6=0$ を得る。

直線$l$が球面$S$と相異なる2点で交わるための条件は，この$t$の2次方程式が相異なる2つの実数解をもつことである。したがって判別式が正であり，$(4a+8{)}^2-24(a^2+b^2+4)>0$ である。これを整理すると $(a-4{)}^2+3b^2<12$ となる。よって$ab$平面上では，中心$(4,0)$の楕円 $\frac{(a-4{)}^2}{12}+\frac{b^2}{4}<1$ の内部である。

別解。球面の中心を$C=(2,0,0)$とする。直線上の点$Q(t)=(at,bt,2-2t)$と$C$の距離の2乗は $(at-2{)}^2+(bt{)}^2+(2-2t{)}^2$ であり，これが$t$について最小になる値が半径の2乗$2$より小さいとき，直線は球面と相異なる2点で交わる。この最小値条件を計算しても，同じく $(a-4{)}^2+3b^2<12$ を得る。

(3)

$T$は$S$のうち$z>0$の部分である。(1)の表示では $z=2-2t$ なので，$T$上の交点に対応する$t$は $t<1$ を満たす必要がある。

(2)で得た2次方程式を $h(t)=(a^2+b^2+4)t^2-(4a+8)t+6$ とおく。まず相異なる2点で球面と交わるために $(a-4{)}^2+3b^2<12$ が必要である。さらに，その2つの根がともに$1$より小さくなればよい。

上に開く2次関数で，2つの実根をもつとき，2根がともに$1$より小さいためには，$h(1)>0$であり，かつ2根の和が$<2$であればよい。まず $h(1)=a^2+b^2+4-(4a+8)+6=(a-2{)}^2+b^2-2$ より $(a-2{)}^2+b^2>2$ である。次に2根の和は $\frac{4a+8}{a^2+b^2+4}$ であるから，これが$<2$である条件は $4a+8<2(a^2+b^2+4)$ すなわち $(a-1{)}^2+b^2>1$ である。

したがって求める条件は $(a-4{)}^2+3b^2<12,(a-2{)}^2+b^2>2,(a-1{)}^2+b^2>1$ である。図示すると，楕円 $(a-4{)}^2+3b^2<12$ の内部から，円 $(a-2{)}^2+b^2\leqq 2$ および円 $(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$ に含まれる部分を除いた領域である。境界は，楕円側は含まず，2つの円周側も$z=0$または根の位置が端になるため含まない。

解法2

(1)

(2)

球の中心を $C=(2,0,0)$ とする。距離の2乗は

直線と球面が相異なる2点で交わるのは、$D(t)$ の最小値が半径の2乗 $2$ より小さいときである。最小値の条件を整理すると

すなわち

(3)

球面との交点を与える方程式は

$T$ 上では $z=2-2t>0$ だから、2根がともに $1$ より小さいことが必要十分である。

相異なる2実根をもつ条件のもとで、放物線 $y=h(t)$ の頂点が $t=1$ より左にあり、かつ $h(1)>0$ なら、$t=1$ は2根の右側にある。条件は

これらを整理すると

したがって求める領域は

灰色部分が求める領域であり、3本の境界はいずれも含まない。