名古屋大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対し、定積分

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x ^{2} + 1} d x

を考える。

(1)

I_{n} + I_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}

を示せ。

(2)

0 ≦ I_{n + 1} ≦ I_{n} ≦ \frac{1}{n + 1}

を示せ。

(3)

n \to \infty lim n I_{n}

を求めよ。

(4)

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{2 k}

とする。(1)、(2)を用いて

n \to \infty lim S_{n}

を求めよ。

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

(1)は2つの被積分関数を足し、分子の $1 + x^{2}$ を約分する。(2)は $0 ≦ x ≦ 1$ で $x^{n + 1} ≦ x^{n}$ を積分する。(3)は (1) と単調性から $I_{n}$ の上下界を作り、はさみうちを使う。(4)は $1/ (2 k) = I_{2 k - 1} + I_{2 k + 1}$ と書き、中間の積分を交代的に消去して $I_{1}$ へ帰着する。

解法2

(3)では $I_{n}$ と $\frac{1}{2 ( n + 1 )}$ の差を1つの積分にまとめ、その誤差を $O (1/ n^{2})$ の具体的な上界で挟む。(4)では有限和を先に積分へ直し、有限等比級数を用いて一度に $I_{1}$ と余項へ分解する。

解答

解法1

(1)

定義より

I_{n} + I_{n + 2} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} + x ^{n + 2}}{1 + x ^{2}} d x = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} .

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ では

0 ≦ \frac{x ^{n + 1}}{1 + x ^{2}} ≦ \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2}} ≦ x^{n} .

各辺を $0$ から $1$ まで積分して

0 ≦ I_{n + 1} ≦ I_{n} ≦ \frac{1}{n + 1}

を得る。

(3)

(2) より $I_{n + 2} ≦ I_{n}$ なので、(1) と合わせて

2 I_{n} ≧ I_{n} + I_{n + 2} = \frac{1}{n + 1} .

よって

I_{n} ≧ \frac{1}{2 ( n + 1 )} .

この下界を $n + 2$ に適用すると

I_{n + 2} ≧ \frac{1}{2 ( n + 3 )} .

したがって (1) より

I_{n} = \frac{1}{n + 1} - I_{n + 2} ≦ \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{2 ( n + 3 )} .

ゆえに

\frac{n}{2 ( n + 1 )} ≦ n I_{n} ≦ \frac{n}{n + 1} - \frac{n}{2 ( n + 3 )} .

両端はともに $1/2$ に収束するから

n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{2} .

(4)

(1) で $n = 2 k - 1$ とすると

\frac{1}{2 k} = I_{2 k - 1} + I_{2 k + 1} .

したがって

S_{n} = = (I_{1} + I_{3}) - (I_{3} + I_{5}) + \dots + (- 1)^{n - 1} (I_{2 n - 1} + I_{2 n + 1}) I_{1} + (- 1)^{n - 1} I_{2 n + 1} .

(2) より

0 ≦ I_{2 n + 1} ≦ \frac{1}{2 n + 2},

したがって $I_{2 n + 1} \to 0$ である。よって

n \to \infty lim S_{n} = I_{1} .

最後に

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} [lo g (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{1}{2} lo g 2.

したがって

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{2} lo g 2.

解法2

(1)

I_{n} + I_{n + 2} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} ( 1 + x ^{2} )}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{n + 1} .

(2)

区間 $0 ≦ x ≦ 1$ における

0 ≦ x^{n + 1} ≦ x^{n}

を $1 + x^{2} > 0$ で割って積分すれば、最初の3項の大小を得る。また

\frac{1}{1 + x ^{2}} ≦ 1

より $I_{n} ≦ 1/ (n + 1)$ である。

(3)

I_{n} - \frac{1}{2 ( n + 1 )} = \int_{0}^{1} x^{n} (\frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{2}) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} ( 1 - x ^{2} )}{2 ( 1 + x ^{2} )} d x .

被積分関数は非負で、さらに

0 ≦ \frac{x ^{n} ( 1 - x ^{2} )}{2 ( 1 + x ^{2} )} ≦ \frac{1}{2} x^{n} (1 - x^{2}) .

したがって

0 ≦ I_{n} - \frac{1}{2 ( n + 1 )} ≦ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^{n} - x^{n + 2}) d x = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 3 )} .

全体を $n$ 倍すれば誤差の上界は0に収束するため

n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{2} .

(4)

\frac{1}{2 k} = \int_{0}^{1} x^{2 k - 1} d x

なので、有限和と積分を交換して

S_{n} = \int_{0}^{1} k = 1 \sum n (- 1)^{k - 1} x^{2 k - 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{x { 1 - ( - x ^{2} ) ^{n} }}{1 + x ^{2}} d x = I_{1} + (- 1)^{n - 1} I_{2 n + 1} .

(2) より余項は0に収束するから

n \to \infty lim S_{n} = I_{1} = \frac{1}{2} lo g 2.

名古屋大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2018年度
理系数学第1問