問題
を1より大きい実数とする。
(1)関数 と のグラフの共有点は、存在すれば直線 上にあることを示せ。
(2)関数 と のグラフの共有点は2個以下であることを示せ。
(3)2つのグラフの共有点が1個であるとする。このときの共有点の座標と の値を求めよ。
方針
解法1
2つの関数は互いに逆関数である。共有点 では 、 が同時に成り立ち、 の単調性から を示せる。共有点は方程式 の正の解に対応するので、 の強い凸性から零点が2個以下であることを示す。1個だけなら最小点で接するため、 を解く。
解法2
共有点が 上にあることを示した後、 の両辺の対数をとって とする。関数 は でただ1つの最大値 をもつため、水平線 との交点数から (2)(3) を同時に判定できる。
解答
解法1
(1)
共有点を とする。
であり、後式は と同値である。もし なら、 より である。一方 だから となり矛盾する。 も同様に矛盾する。したがって
すなわち共有点は直線 上にある。
(2)
(1) より共有点は方程式
の正の解 に対応する。
とおくと
よって は狭義単調増加である。
もし が3個以上の零点をもてば、ロルの定理により、その間に の零点が少なくとも2個存在する。しかし は狭義単調増加なので不可能である。したがって共有点は2個以下である。
(3)
さらに は下に凸である。正の零点が1個だけなら、その点で 軸に接するので
第1式を第2式へ代入して
また第1式の両辺の対数をとると
よって 、すなわち である。さらに
だから
共有点は
である。
解法2
(1)
共有点では
は狭義単調増加なので、 と はどちらも左右の大小を逆転させて矛盾する。よって である。
(2)
共有点の 座標は を満たす。両辺の対数をとると
とおけば
したがって は で増加し、 で減少する。ゆえに水平線 との交点は高々2個である。
(3)
の最大値は
であり、水平線との交点がちょうど1個になるのは最大点に接するときだけである。したがって
よって
