名古屋大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

共有点を $(x,y)$ とする。$$y=a^x,y={\log }_{a}x$$であり、後式は $x=a^y$ と同値である。もし $x>y$ なら、$a>1$ より $a^x>a^y$ である。一方 $a^x=y,a^y=x$ だから $y>x$ となり矛盾する。$x<y$ も同様に矛盾する。したがって$$x=y,$$すなわち共有点は直線 $y=x$ 上にある。

(2)

(1) より共有点は方程式$$a^x=x$$の正の解 $(x,x)$ に対応する。$$\varphi (x)=a^x-x$$とおくと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=a^x\log a-1,{\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=a^x(\log a{)}^2>0.$$よって ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調増加である。

もし $\varphi$ が3個以上の零点をもてば、ロルの定理により、その間に ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}$ の零点が少なくとも2個存在する。しかし ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調増加なので不可能である。したがって共有点は2個以下である。

(3) $$\varphi (0)=1>0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$さらに $\varphi$ は下に凸である。正の零点が1個だけなら、その点で $x$ 軸に接するので$$a^x=x,a^x\log a=1.$$第1式を第2式へ代入して$$x\log a=1.$$また第1式の両辺の対数をとると$$x\log a=\log x\mathrm{.}$$よって $\log x=1$、すなわち $x=e$ である。さらに$$\log a=\frac{1}{e}$$だから$$a=e^{1\mathrm{/}e}\mathrm{.}$$共有点は$$(e,e)$$である。

共有点が $y=x$ 上にあることを示した後、$a^x=x$ の両辺の対数をとって $\log a=(\log x)\mathrm{/}x$ とする。関数 $h(x)=(\log x)\mathrm{/}x$ は $x=e$ でただ1つの最大値 $1\mathrm{/}e$ をもつため、水平線 $y=\log a$ との交点数から (2)(3) を同時に判定できる。

(1)

共有点では$$y=a^x,x=a^y\mathrm{.}$$$a^t$ は狭義単調増加なので、$x>y$ と $x<y$ はどちらも左右の大小を逆転させて矛盾する。よって $x=y$ である。

(2)

共有点の $x$ 座標は $a^x=x$ を満たす。両辺の対数をとると$$\log a=\frac{\log x}{x}\mathrm{.}$$$$h(x)=\frac{\log x}{x}(x>0)$$とおけば$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1-\log x}{x^2}\mathrm{.}$$したがって $h$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。ゆえに水平線 $y=\log a$ との交点は高々2個である。

(3)

$h$ の最大値は$$h(e)=\frac{1}{e}\mathrm{.}$$$\log a>0$ であり、水平線との交点がちょうど1個になるのは最大点に接するときだけである。したがって$$\log a=\frac{1}{e},x=e\mathrm{.}$$よって$$a=e^{1\mathrm{/}e},\text{共有点は }(e,e)\mathrm{.}$$