名古屋大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

二項定理より$$(a+b{)}^p-a^p-b^p=\sum _{j=1}^{p-1}{}_p{\mathrm{C}}_j{a}^{p-j}{b}^j\mathrm{.}$$$1\leqq j\leqq p-1$ とする。係数$${}_p{\mathrm{C}}_j=\frac{p!}{j!(p-j)!}$$の分子には因子 $p$ が含まれ、分母には含まれない。したがって ${}_p{\mathrm{C}}_j$ は $p$ の倍数である。和の各項が $p$ で割り切れるので、題意が従う。

(2)

$a+2$ と $a$ は同じ偶奇である。整数 $m$ と $m^p$ は同じ偶奇をもつので、$(a+2{)}^p$ と $a^p$ も同じ偶奇である。よってその差は偶数である。

(3)

$p=2$ のとき$$(a+2{)}^2-a^2=4(a+1)$$は $2p=4$ で割り切れる。余りは0である。

次に $p$ を奇素数とする。(1) で $b=2$ とすると$$(a+2{)}^p-a^p\equiv 2^p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$また (1) で $a=b=1$ とすると$$2^p\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$したがって$$(a+2{)}^p-a^p\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$2p$ で割った余りを $r$ とする。(2) より $r$ は偶数であり、$$0\leqq r<2p,r\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$候補は $2,p+2$ だが、$p+2$ は奇数なので除かれる。よって$$r=2.$$以上から余りは$$\{\begin{array}{ll}0& (p=2),\\ 2& (p\text{ が奇素数})\end{array}$$である。

(1) では ${}_p{\mathrm{C}}_j=\frac{p}{j}{}_{p-1}{\mathrm{C}}_{j-1}$ を用い、$j$ が $p$ と互いに素であることから係数が $p$ の倍数だと示す。(1)から得られる合同式を繰り返して $m^p\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ を導けば、(3)の $p$ を法とする計算を一行で行える。最後は偶奇と中国剰余的な組合せで $2p$ の余りを決める。

(1)

$1\leqq j\leqq p-1$ に対して$${}_p{\mathrm{C}}_j=\frac{p}{j}{}_{p-1}{\mathrm{C}}_{j-1}\mathrm{.}$$左辺と ${}_{p-1}{\mathrm{C}}_{j-1}$ は整数であり、$p$ と $j$ は互いに素である。等式$$j{}_p{\mathrm{C}}_j=p{}_{p-1}{\mathrm{C}}_{j-1}$$から、${}_p{\mathrm{C}}_j$ は $p$ の倍数である。二項展開の中間項はすべて $p$ の倍数となるため$$(a+b{)}^p\equiv a^p+b^p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$(2)

$2$ を法とすると $a+2\equiv a$ なので$$(a+2{)}^p-a^p\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$(3)

(1) で $b=1$ とすると$$(m+1{)}^p\equiv m^p+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$これを整数の代表 $m=0,1,\dots ,p-1$ に順に用いると$$m^p\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$を得る。したがって$$(a+2{)}^p-a^p\equiv (a+2)-a\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$p$ が奇数なら、$p$ を法として2、$2$ を法として0となる $0\leqq r<2p$ は $r=2$ だけである。$p=2$ は直接計算して余り0となる。よって$$\{\begin{array}{ll}0& (p=2),\\ 2& (p\mathrm{\ne }2)\end{array}$$である。