名古屋大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

$p$ を素数、 $a, b$ を整数とする。

(1)

(a + b)^{p} - a^{p} - b^{p}

は $p$ で割り切れることを示せ。

(2)

(a + 2)^{p} - a^{p}

は偶数であることを示せ。

(3)

(a + 2)^{p} - a^{p}

を $2 p$ で割ったときの余りを求めよ。

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

(1)は二項定理で展開し、中間項の係数 $_{p} C_{j}$ が素数 $p$ で割り切れることを示す。(2)は $a + 2$ と $a$ が同じ偶奇であることを使う。(3)は $p = 2$ を先に処理する。奇素数のときは (1) を2度使って $p$ を法とする余りを2と定め、さらに (2) の偶数条件を合わせて $2 p$ での余りを一意に決める。

解法2

(1)では $_{p} C_{j} = \frac{p}{j}_{p - 1} C_{j - 1}$ を用い、 $j$ が $p$ と互いに素であることから係数が $p$ の倍数だと示す。(1)から得られる合同式を繰り返して $m^{p} \equiv m (mod p)$ を導けば、(3)の $p$ を法とする計算を一行で行える。最後は偶奇と中国剰余的な組合せで $2 p$ の余りを決める。

解答

解法1

(1)

二項定理より

(a + b)^{p} - a^{p} - b^{p} = j = 1 \sum p - 1_{p} C_{j} a^{p - j} b^{j} .

$1 ≦ j ≦ p - 1$ とする。係数

_{p} C_{j} = \frac{p !}{j ! ( p - j )!}

の分子には因子 $p$ が含まれ、分母には含まれない。したがって $_{p} C_{j}$ は $p$ の倍数である。和の各項が $p$ で割り切れるので、題意が従う。

(2)

$a + 2$ と $a$ は同じ偶奇である。整数 $m$ と $m^{p}$ は同じ偶奇をもつので、 $(a + 2)^{p}$ と $a^{p}$ も同じ偶奇である。よってその差は偶数である。

(3)

$p = 2$ のとき

(a + 2)^{2} - a^{2} = 4 (a + 1)

は $2 p = 4$ で割り切れる。余りは0である。

次に $p$ を奇素数とする。(1) で $b = 2$ とすると

(a + 2)^{p} - a^{p} \equiv 2^{p} (mod p) .

また (1) で $a = b = 1$ とすると

2^{p} \equiv 2 (mod p) .

したがって

(a + 2)^{p} - a^{p} \equiv 2 (mod p) .

$2 p$ で割った余りを $r$ とする。(2) より $r$ は偶数であり、

0 ≦ r < 2 p, r \equiv 2 (mod p) .

候補は $2, p + 2$ だが、 $p + 2$ は奇数なので除かれる。よって

r = 2.

以上から余りは

{02 (p = 2), (p が奇素数)

である。

解法2

(1)

$1 ≦ j ≦ p - 1$ に対して

_{p} C_{j} = \frac{p}{j}_{p - 1} C_{j - 1} .

左辺と $_{p - 1} C_{j - 1}$ は整数であり、 $p$ と $j$ は互いに素である。等式

j_{p} C_{j} = p_{p - 1} C_{j - 1}

から、 $_{p} C_{j}$ は $p$ の倍数である。二項展開の中間項はすべて $p$ の倍数となるため

(a + b)^{p} \equiv a^{p} + b^{p} (mod p) .

(2)

$2$ を法とすると $a + 2 \equiv a$ なので

(a + 2)^{p} - a^{p} \equiv 0 (mod 2) .

(3)

(1) で $b = 1$ とすると

(m + 1)^{p} \equiv m^{p} + 1 (mod p) .

これを整数の代表 $m = 0, 1, \dots, p - 1$ に順に用いると

m^{p} \equiv m (mod p)

を得る。したがって

(a + 2)^{p} - a^{p} \equiv (a + 2) - a \equiv 2 (mod p) .

$p$ が奇数なら、 $p$ を法として2、 $2$ を法として0となる $0 ≦ r < 2 p$ は $r = 2$ だけである。 $p = 2$ は直接計算して余り0となる。よって

{02 (p = 2), (p \neq = 2)

である。

名古屋大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2018年度
理系数学第3問