名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

まず$$F(x)={\int }_0^x(t^2+at-a)dt=\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}{x}^2-ax$$である。そこで $G(x)=F(x)-f(x)$ とおくと$$G(x)=\frac{x^3}{3}+(\frac{a}{2}-1)x^2-2ax+a$$であり、導関数は$$G^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+(a-2)x-2a=(x-2)(x+a)$$と因数分解できる。また$$G(2)=-\frac{3a+4}{3},G(-a)=\frac{a(a^2+6a+6)}{6}$$である。

$a>-2$ のときは $-a<2$ であり、$x=-a$ で極大、$x=2$ で極小となる。異なる3実根をもつ条件は$$G(-a)>0,G(2)<0$$である。後者から $a>-4\mathrm{/}3$ を得る。この範囲で前者も満たす条件を調べると$$-\frac{4}{3}<a<-3+\sqrt{3}\text{または}a>0$$となる。

$a<-2$ のときは停留点の順序が逆になり、$x=2$ で極大、$x=-a$ で極小となる。したがって$$G(2)>0,G(-a)<0$$が必要十分である。これを解くと$$a<-3-\sqrt{3}$$を得る。なお $a=-2$ では $G^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-2{)}^2$ となり、$G$ は単調増加なので交点は1個である。

以上より、求める条件は$$a<-3-\sqrt{3},-\frac{4}{3}<a<-3+\sqrt{3},a>0$$である。

3実根の個数が変わる境界では、グラフが $x$ 軸に接する。したがって $G(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を満たすパラメータを先に求め、得られた境界で数直線を区切って各区間の代表値を調べる。

解法1と同じ $G(x)$ に対して$$G^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-2)(x+a)$$である。グラフが $x$ 軸に接するとき、接点は $x=2$ または $x=-a$ である。

$x=2$ のとき$$G(2)=-\frac{3a+4}{3}=0$$より $a=-4\mathrm{/}3$ である。$x=-a$ のとき$$G(-a)=\frac{a(a^2+6a+6)}{6}=0$$より$$a=0,a=-3-\sqrt{3},a=-3+\sqrt{3}$$である。したがって境界は小さい順に$$-3-\sqrt{3}<-\frac{4}{3}<-3+\sqrt{3}<0$$である。

各区間で、2つの停留点における値が極大正・極小負になるかを調べる。例えば $a=-5,-3\mathrm{/}2,-1,1$ を代表値として代入すると、3交点をもつ区間は$$(-\mathrm{\infty },-3-\sqrt{3}),(-\frac{4}{3},-3+\sqrt{3}),(0,\mathrm{\infty })$$である。境界では重解をもち「異なる3点」にならないので端点は含まない。よって$$a<-3-\sqrt{3},-\frac{4}{3}<a<-3+\sqrt{3},a>0$$である。