名古屋大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とし，関数 $f (x) = x^{2} + a x - a$ と $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ を考える。関数 $y = F (x) - f (x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるための $a$ の条件を求めよ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

$G (x) = F (x) - f (x)$ とおき、まず導関数を因数分解する。停留点は $x = 2, - a$ と簡単に求まり、3次関数が $x$ 軸と異なる3点で交わる条件は、極大値が正、極小値が負となることで判定できる。停留点の順序が入れ替わる $a = - 2$ を境に場合分けし、2つの関数値の符号を調べる。

解法2

3実根の個数が変わる境界では、グラフが $x$ 軸に接する。したがって $G (x) = G^{'} (x) = 0$ を満たすパラメータを先に求め、得られた境界で数直線を区切って各区間の代表値を調べる。

解答

解法1

まず

F (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} + a t - a) d t = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{a}{2} x^{2} - a x

である。そこで $G (x) = F (x) - f (x)$ とおくと

G (x) = \frac{x ^{3}}{3} + (\frac{a}{2} - 1) x^{2} - 2 a x + a

であり、導関数は

G^{'} (x) = x^{2} + (a - 2) x - 2 a = (x - 2) (x + a)

と因数分解できる。また

G (2) = - \frac{3 a + 4}{3}, G (- a) = \frac{a ( a ^{2} + 6 a + 6 )}{6}

である。

$a > - 2$ のときは $- a < 2$ であり、 $x = - a$ で極大、 $x = 2$ で極小となる。異なる3実根をもつ条件は

G (- a) > 0, G (2) < 0

である。後者から $a > - 4/3$ を得る。この範囲で前者も満たす条件を調べると

- \frac{4}{3} < a < - 3 + 3 または a > 0

となる。

$a < - 2$ のときは停留点の順序が逆になり、 $x = 2$ で極大、 $x = - a$ で極小となる。したがって

G (2) > 0, G (- a) < 0

が必要十分である。これを解くと

a < - 3 - 3

を得る。なお $a = - 2$ では $G^{'} (x) = (x - 2)^{2}$ となり、 $G$ は単調増加なので交点は1個である。

以上より、求める条件は

a < - 3 - 3, - \frac{4}{3} < a < - 3 + 3, a > 0

である。

解法2

解法1と同じ $G (x)$ に対して

G^{'} (x) = (x - 2) (x + a)

である。グラフが $x$ 軸に接するとき、接点は $x = 2$ または $x = - a$ である。

$x = 2$ のとき

G (2) = - \frac{3 a + 4}{3} = 0

より $a = - 4/3$ である。 $x = - a$ のとき

G (- a) = \frac{a ( a ^{2} + 6 a + 6 )}{6} = 0

より

a = 0, a = - 3 - 3, a = - 3 + 3

である。したがって境界は小さい順に

- 3 - 3 < - \frac{4}{3} < - 3 + 3 < 0

である。

各区間で、2つの停留点における値が極大正・極小負になるかを調べる。例えば $a = - 5, - 3/2, - 1, 1$ を代表値として代入すると、3交点をもつ区間は

(- \infty, - 3 - 3), (- \frac{4}{3}, - 3 + 3), (0, \infty)

である。境界では重解をもち「異なる3点」にならないので端点は含まない。よって

a < - 3 - 3, - \frac{4}{3} < a < - 3 + 3, a > 0

である。

名古屋大学 2019年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

名古屋大学 2019年度
文系数学第1問