名古屋大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

非負の整数 $n$ に対して $P_{n}$ を $x y$ 平面上の点とする。 $P_{0}$ の座標を $(1, 0)$ とし， $P_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ と $P_{n + 1}$ の座標 $(x_{n + 1}, y_{n + 1})$ は

x_{n + 1} = x_{n} - k (y_{n} + y_{n + 1})

y_{n + 1} = y_{n} + k (x_{n} + x_{n + 1})

をみたすとする。ただし $k$ を正の実数とする。

(1) $k = tan (\frac{α}{2})$ とする。ただし $0 < α < π$ とする。このとき $P_{1}$ ， $P_{2}$ の座標 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ を $α$ を用いて表せ。

(2) $P_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ を(1)の $α$ と $n$ を用いて表せ。

(3) $O$ を $x y$ 平面の原点とするとき，三角形 $P_{n} O P_{n + 1}$ の面積を $k$ を用いて表せ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

連立漸化式を $z_{n} = x_{n} + i y_{n}$ という1本の複素数の漸化式にまとめる。隣り合う項の比が絶対値1、偏角 $α$ の複素数になることを半角公式で確かめれば、点列は単位円上を一定角ずつ回転する。最後に2本の半径とその間の角から三角形の面積を求める。

解法2

複素数を使わず、与えられた2式を消去法で解く。得られる漸化式が角 $α$ の回転公式であることを半角公式で確かめ、加法定理で一般項を求める。

解答

解法1

(1)

$z_{n} = x_{n} + i y_{n}$ とおく。与えられた2式から

z_{n + 1} - z_{n} = (x_{n + 1} - x_{n}) + i (y_{n + 1} - y_{n}) = - k (y_{n} + y_{n + 1}) + ik (x_{n} + x_{n + 1}) = k i (z_{n} + z_{n + 1})

である。したがって

(1 - k i) z_{n + 1} = (1 + k i) z_{n}

より

z_{n + 1} = \frac{1 + k i}{1 - k i} z_{n}

を得る。ここで $k = tan (α /2)$ だから、半角公式により

\frac{1 + k i}{1 - k i} = \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}} + i \frac{2 k}{1 + k ^{2}} = cos α + i sin α

である。 $z_{0} = 1$ より

P_{1} = (cos α, sin α), P_{2} = (cos 2 α, sin 2 α)

となる。

(2)

(1)の漸化式を繰り返すと

z_{n} = (cos α + i sin α)^{n} = cos n α + i sin n α

である。よって

P_{n} = (cos n α, sin n α)

を得る。

(3)

(2)から

O P_{n} = O P_{n + 1} = 1, ∠ P_{n} O P_{n + 1} = α

である。したがって三角形の面積は

\frac{1}{2} sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 k}{1 + k ^{2}} = \frac{k}{1 + k ^{2}}

である。

解法2

(1)

与式から $y_{n + 1}$ と $x_{n + 1}$ をそれぞれ消去すると

(1 + k^{2}) x_{n + 1} (1 + k^{2}) y_{n + 1} = (1 - k^{2}) x_{n} - 2 k y_{n}, = 2 k x_{n} + (1 - k^{2}) y_{n}

を得る。半角公式

cos α = \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}}, sin α = \frac{2 k}{1 + k ^{2}}

により

x_{n + 1} y_{n + 1} = cos α x_{n} - sin α y_{n}, = sin α x_{n} + cos α y_{n} .

$P_{0} = (1, 0)$ を代入し、さらに1回進めると

P_{1} = (cos α, sin α), P_{2} = (cos 2 α, sin 2 α)

である。

(2)

$P_{n} = (cos n α, sin n α)$ と仮定する。上の漸化式と加法定理から

x_{n + 1} y_{n + 1} = cos (n + 1) α, = sin (n + 1) α

となる。 $n = 0$ でも成立するので、数学的帰納法により

P_{n} = (cos n α, sin n α)

である。

(3)

座標による面積公式から

[△ P_{n} O P_{n + 1}] = \frac{1}{2} ∣ x_{n} y_{n + 1} - y_{n} x_{n + 1} ∣ = \frac{1}{2} sin α = \frac{k}{1 + k ^{2}} .

ここで $0 < α < π$ より $sin α > 0$ を用いた。

名古屋大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2019年度
文系数学第2問