名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
$z_n=x_n+i{y}_n$ とおく。与えられた2式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{n+1}-z_n}& {\displaystyle =(x_{n+1}-x_n)+i(y_{n+1}-y_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-k(y_n+y_{n+1})+ik(x_n+x_{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =ki(z_n+z_{n+1})}\end{array}$$である。したがって$$(1-ki)z_{n+1}=(1+ki)z_n$$より$$z_{n+1}=\frac{1+ki}{1-ki}{z}_n$$を得る。ここで $k=\tan (\alpha \mathrm{/}2)$ だから、半角公式により$$\frac{1+ki}{1-ki}=\frac{1-k^2}{1+k^2}+i\frac{2k}{1+k^2}=\cos \alpha +i\sin \alpha$$である。$z_0=1$ より$$P_1=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),P_2=(\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha )$$となる。

(2)
(1)の漸化式を繰り返すと$$z_n=(\cos \alpha +i\sin \alpha {)}^n=\cos n\alpha +i\sin n\alpha$$である。よって$$P_n=(\cos n\alpha ,\sin n\alpha )$$を得る。

(3)
(2)から$$O{P}_n=O{P}_{n+1}=1,\mathrm{\angle }{P}_{n}O{P}_{n+1}=\alpha$$である。したがって三角形の面積は$$\frac{1}{2}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{2k}{1+k^2}=\frac{k}{1+k^2}$$である。

複素数を使わず、与えられた2式を消去法で解く。得られる漸化式が角 $\alpha$ の回転公式であることを半角公式で確かめ、加法定理で一般項を求める。

(1)
与式から $y_{n+1}$ と $x_{n+1}$ をそれぞれ消去すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1+k^2)x_{n+1}}& {\displaystyle =(1-k^2)x_n-2k{y}_n,}\\ {\displaystyle (1+k^2)y_{n+1}}& {\displaystyle =2k{x}_n+(1-k^2)y_n}\end{array}$$を得る。半角公式$$\cos \alpha =\frac{1-k^2}{1+k^2},\sin \alpha =\frac{2k}{1+k^2}$$により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+1}}& {\displaystyle =\cos \alpha x_n-\sin \alpha y_n,}\\ {\displaystyle y_{n+1}}& {\displaystyle =\sin \alpha x_n+\cos \alpha y_n\mathrm{.}}\end{array}$$$P_0=(1,0)$ を代入し、さらに1回進めると$$P_1=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),P_2=(\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha )$$である。

(2) $$P_n=(\cos n\alpha ,\sin n\alpha )$$ と仮定する。上の漸化式と加法定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+1}}& {\displaystyle =\cos (n+1)\alpha ,}\\ {\displaystyle y_{n+1}}& {\displaystyle =\sin (n+1)\alpha }\end{array}$$となる。$n=0$ でも成立するので、数学的帰納法により$$P_n=(\cos n\alpha ,\sin n\alpha )$$である。

(3)
座標による面積公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [\mathrm{△}{P}_{n}O{P}_{n+1}]}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid x_n{y}_{n+1}-y_n{x}_{n+1}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sin \alpha =\frac{k}{1+k^2}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $0<\alpha <\pi$ より $\sin \alpha >0$ を用いた。