名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$x^2-bx+c=0$ が整数根を1つもてば、もう一方の根も整数である。2根を $r,s$ とすると$$r+s=b,rs=c\mathrm{.}$$$b,c>0$ なので $r,s$ は正の整数である。$r\leqq s$ として $1\leqq b,c\leqq 6$ を満たす組を並べると$$\begin{array}{cc}(r,s)& (b,c)\\ (1,1)& (2,1)\\ (1,2)& (3,2)\\ (1,3)& (4,3)\\ (1,4)& (5,4)\\ (1,5)& (6,5)\\ (2,2)& (4,4)\\ (2,3)& (5,6)\end{array}$$の7通りである。$a$ は自由に6通り選べるので$$\frac{6\cdot 7}{6^3}=\frac{7}{36}$$となる。

(2)
すべての根が整数であるとき、正の整数 $r,s$ を用いて$$a{x}^2-bx+c=a(x-r)(x-s)$$と書ける。したがって$$b=a(r+s),c=ars\mathrm{.}$$$r\leqq s$ として列挙すると$$\begin{array}{ccc}a& (r,s)& \text{個数}\\ 1& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3)& 7\\ 2& (1,1),(1,2)& 2\\ 3& (1,1)& 1\\ 4,5,6& \text{なし}& 0\end{array}$$である。よって条件を満たす出方は10通りであり、確率は$$\frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}$$である。

(3)
整数根を $r$ とすると$$a{r}^2-br+c=0$$より$$c=r(b-ar)$$である。$c>0$ だから $r>0$ かつ $b>ar$ である。各 $a$ について、条件を満たす異なる $(b,c)$ を並べると$$\begin{array}{ccc}a& (b,c)& \text{個数}\\ 1& (2,1),(3,2),(4,3),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5)& 7\\ 2& (3,1),(4,2),(5,2),(5,3),(6,4)& 5\\ 3& (4,1),(5,2),(6,3)& 3\\ 4& (5,1),(6,2)& 2\\ 5& (6,1)& 1\\ 6& \text{なし}& 0\end{array}$$となる。合計は$$7+5+3+2+1=18$$通りである。したがって求める確率は$$\frac{18}{6^3}=\frac{1}{12}$$である。

判別式 $D=b^2-4ac$ を用いる。2次方程式が実数の整数根をもつには $D$ が平方数であり、解の公式の分子 $b\pm \sqrt{D}$ に適切な整除条件が必要である。範囲が小さいため、平方数と整除条件の表で数える。

(1)
このとき$$D=b^2-4c$$である。最高次係数が1なので、$D=q^2$ となる非負整数 $q$ があれば$$x=\frac{b\pm q}{2}$$はともに整数になる。$1\leqq b,c\leqq 6$ の範囲で調べると$$(b,c)=(2,1),(3,2),(4,3),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5)$$の7通りである。したがって$$\frac{6\cdot 7}{6^3}=\frac{7}{36}\mathrm{.}$$(2)
判別式$$D=b^2-4ac$$が平方数 $q^2$ であり、さらに$$b+q,b-q$$がともに $2a$ の倍数であることが必要十分である。全候補を表にすると$$\begin{array}{ccc}a& (b,c)& \text{個数}\\ 1& (2,1),(3,2),(4,3),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5)& 7\\ 2& (4,2),(6,4)& 2\\ 3& (6,3)& 1\\ 4,5,6& \text{なし}& 0\end{array}$$となる。よって$$\frac{7+2+1}{6^3}=\frac{5}{108}\mathrm{.}$$(3)
少なくとも一方が整数根である条件は、$D=q^2$ に加えて$$b+q\text{または}b-q$$の少なくとも一方が $2a$ の倍数になることである。この条件で $1\leqq a,b,c\leqq 6$ を調べると$$\begin{array}{crrrrrr}a& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \text{個数}& 7& 5& 3& 2& 1& 0\end{array}$$である。したがって$$\frac{7+5+3+2+1}{6^3}=\frac{18}{216}=\frac{1}{12}$$となる。