名古屋大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

1つのサイコロを3回投げる。1回目に出る目を $a$ ，2回目に出る目を $b$ ，3回目に出る目を $c$ とする。なお，サイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする。

(1) 2次方程式 $x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求めよ。

(2) 2次方程式 $a x^{2} - b x + c = 0$ のすべての解が整数である確率を求めよ。

(3) 2次方程式 $a x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求めよ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

出る目の範囲が1から6までと小さいので、整数根を $r, s$ とおいて解と係数の関係を使う。(1)(2)は正の整数根の組を列挙し、(3)は整数根 $r$ を1つ固定して $c = r (b - a r)$ を満たす $(b, c)$ を重複なく数える。

解法2

判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ を用いる。2次方程式が実数の整数根をもつには $D$ が平方数であり、解の公式の分子 $b \pm D$ に適切な整除条件が必要である。範囲が小さいため、平方数と整除条件の表で数える。

解答

解法1

(1)

$x^{2} - b x + c = 0$ が整数根を1つもてば、もう一方の根も整数である。2根を $r, s$ とすると

r + s = b, r s = c .

$b, c > 0$ なので $r, s$ は正の整数である。 $r ≦ s$ として $1 ≦ b, c ≦ 6$ を満たす組を並べると

(r, s) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 2) (2, 3) (b, c) (2, 1) (3, 2) (4, 3) (5, 4) (6, 5) (4, 4) (5, 6)

の7通りである。 $a$ は自由に6通り選べるので

\frac{6 \cdot 7}{6 ^{3}} = \frac{7}{36}

となる。

(2)

すべての根が整数であるとき、正の整数 $r, s$ を用いて

a x^{2} - b x + c = a (x - r) (x - s)

と書ける。したがって

b = a (r + s), c = a r s .

$r ≦ s$ として列挙すると

a 123 4, 5, 6 (r, s) (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3) (1, 1), (1, 2) (1, 1) なし 個数 7210

である。よって条件を満たす出方は10通りであり、確率は

\frac{10}{6 ^{3}} = \frac{5}{108}

である。

(3)

整数根を $r$ とすると

a r^{2} - b r + c = 0

より

c = r (b - a r)

である。 $c > 0$ だから $r > 0$ かつ $b > a r$ である。各 $a$ について、条件を満たす異なる $(b, c)$ を並べると

a 123456 (b, c) (2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5) (3, 1), (4, 2), (5, 2), (5, 3), (6, 4) (4, 1), (5, 2), (6, 3) (5, 1), (6, 2) (6, 1) なし 個数 753210

となる。合計は

7 + 5 + 3 + 2 + 1 = 18

通りである。したがって求める確率は

\frac{18}{6 ^{3}} = \frac{1}{12}

である。

解法2

(1)

このとき

D = b^{2} - 4 c

である。最高次係数が1なので、 $D = q^{2}$ となる非負整数 $q$ があれば

x = \frac{b \pm q}{2}

はともに整数になる。 $1 ≦ b, c ≦ 6$ の範囲で調べると

(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5)

の7通りである。したがって

\frac{6 \cdot 7}{6 ^{3}} = \frac{7}{36} .

(2)

判別式

D = b^{2} - 4 a c

が平方数 $q^{2}$ であり、さらに

b + q, b - q

がともに $2 a$ の倍数であることが必要十分である。全候補を表にすると

a 123 4, 5, 6 (b, c) (2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5) (4, 2), (6, 4) (6, 3) なし 個数 7210

となる。よって

\frac{7 + 2 + 1}{6 ^{3}} = \frac{5}{108} .

(3)

少なくとも一方が整数根である条件は、 $D = q^{2}$ に加えて

b + q または b - q

の少なくとも一方が $2 a$ の倍数になることである。この条件で $1 ≦ a, b, c ≦ 6$ を調べると

a 個数 172533425160

である。したがって

\frac{7 + 5 + 3 + 2 + 1}{6 ^{3}} = \frac{18}{216} = \frac{1}{12}

となる。

名古屋大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2019年度
文系数学第3問