名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
点 $B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$ は垂線の足なので$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}\mathrm{.}$$平面 $P$ 上のベクトルと、平面 $P$ に垂直なベクトルとの内積は0である。したがって$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B}\cdot \overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}\mathrm{.}$$$\mathrm{\angle }BAC=\pi \mathrm{/}2$ より左辺は0だから$$\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B}\cdot \overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}=0$$が示された。

(2)
$B,C$ は平面 $P$ の同じ側にあるので、垂直成分は同じ向きである。しかも両点は平面上にないから$$\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B}\cdot \overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}>0.$$(1)より$$\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}<0$$である。したがって$$\mathrm{\angle }{B}^{\mathrm{\prime }}A{C}^{\mathrm{\prime }}>\frac{\pi }{2}$$が示された。

(3)
$\mathrm{\angle }{B}^{\mathrm{\prime }}A{C}^{\mathrm{\prime }}$ は鈍角なので、その対辺 $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ が最長である。よって$$B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=7,\{A{B}^{\mathrm{\prime }},A{C}^{\mathrm{\prime }}\}=\{4,\sqrt{21}\}\mathrm{.}$$余弦定理の内積表示から$$\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{A{B}^{\mathrm{\prime }2}+A{C}^{\mathrm{\prime }2}-B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }2}}{2}=\frac{16+21-49}{2}=-6.$$(1)により$$\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B}\cdot \overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}=6.$$$B{B}^{\mathrm{\prime }}=s,C{C}^{\mathrm{\prime }}=t$ とおくと、同じ向きの垂直ベクトルなので$$st=6.$$まず $$A{B}^{\mathrm{\prime }}=4,A{C}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{21}$$ とする。$AB=AC$ だから$$16+s^2=21+t^2,s^2-t^2=5.$$これと $st=6$ から$$s=3,t=2$$を得る。したがって$$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$$A{B}^{\mathrm{\prime }},A{C}^{\mathrm{\prime }}$ を入れ替えた場合は $s,t$ も入れ替わるだけで、同じく $AB=5$ となる。

平面 $P$ を $z=0$ とする座標を置き、平面上の成分を2次元ベクトル、平面までの高さを正数 $s,t$ とする。(3)では共通の斜辺長の二乗を $X$ とおき、$st=6$ から $X$ の2次方程式を作って直接求める。

(1)
平面 $P$ を $z=0$、点 $A$ を原点とする。2次元ベクトル $\mathit{u},\mathit{v}$ と正数 $s,t$ を用いて$$B=(\mathit{u},s),C=(\mathit{v},t)$$と書けば$$B^{\mathrm{\prime }}=(\mathit{u},0),C^{\mathrm{\prime }}=(\mathit{v},0)\mathrm{.}$$$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$ だから$$0=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\mathit{u}\cdot \mathit{v}+st\mathrm{.}$$これは$$\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}B}\cdot \overrightarrow{C^{\mathrm{\prime }}C}=0$$そのものである。

(2)
$s,t>0$ なので$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=-st<0.$$よって平面上のベクトル $\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}},\overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}$ のなす角は鈍角であり$$\mathrm{\angle }{B}^{\mathrm{\prime }}A{C}^{\mathrm{\prime }}>\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$(3)
(2)から最長辺は $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=7$ であり$$\{\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2,\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2\}=\{16,21\}\mathrm{.}$$また$$49=\mathrm{\mid }\mathit{u}-\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2=16+21-2\mathit{u}\cdot \mathit{v}$$だから$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=-6,st=6.$$共通の長さの二乗を$$X=A{B}^2=A{C}^2$$とおく。高さの二乗は順序によらず$$\{s^2,t^2\}=\{X-16,X-21\}$$である。$st=6$ の両辺を2乗して$$(X-16)(X-21)=36.$$すなわち$$X^2-37X+300=0,(X-12)(X-25)=0.$$$X>21$ だから $X=25$ である。したがって$$AB=\sqrt{X}=5.$$