名古屋大学 2019年度理系数学第2問解答・解説

問題

空間内に $∠ B A C = \frac{π}{2}$ の直角二等辺三角形ABCと平面Pがある。点AはP上にあり，点Bと点CはP上にはなく，Pに関して同じ側に位置している。点B，CからPに下ろした垂線とPとの交点をそれぞれB'，C'とする。

(1) $A B^{'} \cdot A C^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C = 0$ を示せ。

(2) $∠ B^{'} A C^{'} > \frac{π}{2}$ を示せ。

(3) P上の三角形AB'C'の辺の長さは短いものから4， $21$ ，7であった。このとき，辺ABの長さを求めよ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1

ベクトル $A B, A C$ を平面 $P$ 上の成分と垂直成分に分解する。交差項が0になるため、直交条件から(1)が直ちに得られる。(3)では射影三角形の鈍角に向かい合う辺を特定し、垂線の長さの積と差を求める。

解法2

平面 $P$ を $z = 0$ とする座標を置き、平面上の成分を2次元ベクトル、平面までの高さを正数 $s, t$ とする。(3)では共通の斜辺長の二乗を $X$ とおき、 $s t = 6$ から $X$ の2次方程式を作って直接求める。

解答

解法1

(1)

点 $B^{'}, C^{'}$ は垂線の足なので

A B = A B^{'} + B^{'} B, A C = A C^{'} + C^{'} C .

平面 $P$ 上のベクトルと、平面 $P$ に垂直なベクトルとの内積は0である。したがって

A B \cdot A C = A B^{'} \cdot A C^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C .

$∠ B A C = π /2$ より左辺は0だから

A B^{'} \cdot A C^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C = 0

が示された。

(2)

$B, C$ は平面 $P$ の同じ側にあるので、垂直成分は同じ向きである。しかも両点は平面上にないから

B^{'} B \cdot C^{'} C > 0.

(1)より

A B^{'} \cdot A C^{'} < 0

である。したがって

∠ B^{'} A C^{'} > \frac{π}{2}

が示された。

(3)

$∠ B^{'} A C^{'}$ は鈍角なので、その対辺 $B^{'} C^{'}$ が最長である。よって

B^{'} C^{'} = 7, {A B^{'}, A C^{'}} = {4, 21} .

余弦定理の内積表示から

A B^{'} \cdot A C^{'} = \frac{A B ^{'2} + A C ^{'2} - B ^{'} C ^{'2}}{2} = \frac{16 + 21 - 49}{2} = - 6.

(1)により

B^{'} B \cdot C^{'} C = 6.

$B B^{'} = s, C C^{'} = t$ とおくと、同じ向きの垂直ベクトルなので

s t = 6.

まず $A B^{'} = 4, A C^{'} = 21$ とする。 $A B = A C$ だから

16 + s^{2} = 21 + t^{2}, s^{2} - t^{2} = 5.

これと $s t = 6$ から

s = 3, t = 2

を得る。したがって

A B = 4^{2} + 3^{2} = 5.

$A B^{'}, A C^{'}$ を入れ替えた場合は $s, t$ も入れ替わるだけで、同じく $A B = 5$ となる。

解法2

(1)

平面 $P$ を $z = 0$ 、点 $A$ を原点とする。2次元ベクトル $u, v$ と正数 $s, t$ を用いて

B = (u, s), C = (v, t)

と書けば

B^{'} = (u, 0), C^{'} = (v, 0) .

$A B ⊥ A C$ だから

0 = A B \cdot A C = u \cdot v + s t .

これは

A B^{'} \cdot A C^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C = 0

そのものである。

(2)

$s, t > 0$ なので

u \cdot v = - s t < 0.

よって平面上のベクトル $A B^{'}, A C^{'}$ のなす角は鈍角であり

∠ B^{'} A C^{'} > \frac{π}{2} .

(3)

(2)から最長辺は $B^{'} C^{'} = 7$ であり

{∣ u ∣^{2}, ∣ v ∣^{2}} = {16, 21} .

また

49 = ∣ u - v ∣^{2} = 16 + 21 - 2 u \cdot v

だから

u \cdot v = - 6, s t = 6.

共通の長さの二乗を

X = A B^{2} = A C^{2}

とおく。高さの二乗は順序によらず

{s^{2}, t^{2}} = {X - 16, X - 21}

である。 $s t = 6$ の両辺を2乗して

(X - 16) (X - 21) = 36.

すなわち

X^{2} - 37 X + 300 = 0, (X - 12) (X - 25) = 0.

$X > 21$ だから $X = 25$ である。したがって

A B = X = 5.

名古屋大学 2019年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2019年度
理系数学第2問