名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
$k$ を $\sqrt{n}$ の整数部分とし$$n=k^2+d$$とおく。平方数ではないので $d$ は正の整数である。小数の条件は$$k+0.01\leqq \sqrt{n}<k+0.1$$と同値である。

両辺を2乗して $n=k^2+d$ を代入すると$$0.02k+0.0001\leqq d<0.2k+\mathrm{0.01.}$$最小の正整数 $d=1$ が可能になるためには$$0.02k+0.0001\leqq 1<0.2k+0.01$$が必要十分である。右の不等式から $k\geqq 5$ であり、$k=5$ は左の不等式も満たす。したがって$$n=5^2+1=26$$が最小である。

(2)
各 $k$ で可能な正整数 $d$ を数える。$$\begin{array}{ccc}k& d& \text{累積個数}\\ 5,6,7,8,9& 1& 5\\ 10& 1,2& 7\\ 11& 1,2& 9\\ 12& 1,2& 11\end{array}$$$k=11$ までに9個あり、$k=12$ では $d=1$ が先に現れる。よって10番目は$$n={12}^2+1=145$$である。

小数を避けるため、条件を $100k+1\leqq 100\sqrt{n}<100k+10$ として整数係数の不等式に直す。平方して $d=n-k^2$ の上下限を得た後、最初の数と10番目の数を数える。

(1) $$k<\sqrt{n}<k+1$$ を満たす整数 $k$ をとる。条件は$$100k+1\leqq 100\sqrt{n}<100k+10$$である。すべて正なので平方でき、$$(100k+1{)}^2\leqq 10000n<(100k+10{)}^2\mathrm{.}$$$n=k^2+d$ とおくと$$200k+1\leqq 10000d<2000k+100.$$$d=1$ が初めて可能になる $k$ を調べる。右側の条件は$$10000<2000k+100$$だから $k\geqq 5$ である。$k=5$ では左側も成立するので$$n=25+1=26.$$(2)
同じ整数不等式に $d=1,2,3$ を順に代入する。$5\leqq k\leqq 9$ では $d=1$ だけが可能で、まず5個得られる。$k=10,11$ では $d=1,2$ が可能なので、ここまでの個数は$$5+2+2=9.$$$k=12$ でも $d=1,2$ が可能であり、小さい方は $d=1$ である。したがって10番目は$${12}^2+1=145$$となる。