名古屋大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

正の整数 $n$ の正の平方根 $n$ は整数ではなく，それを10進法で表すと，小数第1位は0であり，第2位は0以外の数であるとする。

(1) このような $n$ の中で最小のものを求めよ。

(2) このような $n$ を小さいものから順に並べたときに10番目にくるものを求めよ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第3問

$n$ の整数部分を $k$ とし、 $n = k^{2} + d$ とおく。小数第1位が0、第2位が0でない条件を半開区間で正確に表し、整数 $d$ の範囲へ変換する。各 $k$ で可能な $d$ の個数を小さい順に累積する。

小数を避けるため、条件を $100 k + 1 ≦ 100 n < 100 k + 10$ として整数係数の不等式に直す。平方して $d = n - k^{2}$ の上下限を得た後、最初の数と10番目の数を数える。

$k$ を $n$ の整数部分とし

n = k^{2} + d

とおく。平方数ではないので $d$ は正の整数である。小数の条件は

k + 0.01 ≦ n < k + 0.1

と同値である。

両辺を2乗して $n = k^{2} + d$ を代入すると

0.02 k + 0.0001 ≦ d < 0.2 k + 0.01.

最小の正整数 $d = 1$ が可能になるためには

0.02 k + 0.0001 ≦ 1 < 0.2 k + 0.01

が必要十分である。右の不等式から $k ≧ 5$ であり、 $k = 5$ は左の不等式も満たす。したがって

n = 5^{2} + 1 = 26

が最小である。

各 $k$ で可能な正整数 $d$ を数える。

k 5, 6, 7, 8, 9 101112 d 1 1, 2 1, 2 1, 2 累積個数 57911

$k = 11$ までに9個あり、 $k = 12$ では $d = 1$ が先に現れる。よって10番目は

n = 1 2^{2} + 1 = 145

である。

$k < n < k + 1$ を満たす整数 $k$ をとる。条件は

100 k + 1 ≦ 100 n < 100 k + 10

である。すべて正なので平方でき、

(100 k + 1)^{2} ≦ 10000 n < (100 k + 10)^{2} .

$n = k^{2} + d$ とおくと

200 k + 1 ≦ 10000 d < 2000 k + 100.

$d = 1$ が初めて可能になる $k$ を調べる。右側の条件は

10000 < 2000 k + 100

だから $k ≧ 5$ である。 $k = 5$ では左側も成立するので

n = 25 + 1 = 26.

同じ整数不等式に $d = 1, 2, 3$ を順に代入する。 $5 ≦ k ≦ 9$ では $d = 1$ だけが可能で、まず5個得られる。 $k = 10, 11$ では $d = 1, 2$ が可能なので、ここまでの個数は

5 + 2 + 2 = 9.

$k = 12$ でも $d = 1, 2$ が可能であり、小さい方は $d = 1$ である。したがって10番目は

1 2^{2} + 1 = 145

となる。