名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

方程式 $f(x)=0$ の2根は$$t_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}a,t_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}a$$である。したがって、両方の根が $[-1,1]$ に入るための条件は$$\mid \frac{1+\sqrt{3}}{2}a\mid \leqq 1,\mid \frac{1-\sqrt{3}}{2}a\mid \leqq 1$$である。前者の方が強い条件なので、$$1-\sqrt{3}\leqq a\leqq \sqrt{3}-1$$を得る。

(2)

2根を $t_1,t_2$ とすると$$f(x)=2(x-t_1)(x-t_2)$$であり、上に開く放物線だから2根の間でだけ負になる。まず$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^1(2x^2-2ax-a^2)dx=\frac{4}{3}-2a^2$$である。

2根の距離は$$d=\mathrm{\mid }{t}_1-t_2\mathrm{\mid }=\sqrt{3}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$である。一般に $2(x-t_1)(x-t_2)$ の負部分の面積は$${\int }_{t_1}^{t_2}-2(x-t_1)(x-t_2)dx=\frac{d^3}{3}$$だから、本問では $\sqrt{3}\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^3$ である。絶対値を付けると負部分の符号が反転するため、この面積の2倍を加えればよい。よって$$S(a)=\frac{4}{3}-2a^2+2\sqrt{3}\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{.}$$(3)

$u=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ とおくと$$0\leqq u\leqq \sqrt{3}-1,S(u)=\frac{4}{3}-2u^2+2\sqrt{3}{u}^3\mathrm{.}$$微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(u)=2u(-2+3\sqrt{3}u)$$である。したがって $S$ は$$0<u<\frac{2\sqrt{3}}{9}$$で減少し、その後は増加する。なお $2\sqrt{3}\mathrm{/}9<\sqrt{3}-1$ なので、この点は許される範囲内にある。ゆえに$$a=\pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$$のとき $S(a)$ は最小となる。

根の積が非正であることを使い、2根が区間内にある条件を端点値 $f(-1),f(1)$ で判定する。平方完成して根の中点へ平行移動し、負部分を左右対称な積分として直接計算する。

(1)

2根の積は$$-\frac{a^2}{2}\leqq 0$$であるから、一方の根は0以下、他方は0以上である。よって上に開く放物線の2根がともに $[-1,1]$ にあることは$$f(-1)\geqq 0,f(1)\geqq 0$$と同値である。

各条件を解くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-1)\geqq 0}& {\displaystyle ⟺a^2-2a-2\leqq 0⟺1-\sqrt{3}\leqq a\leqq 1+\sqrt{3},}\\ {\displaystyle f(1)\geqq 0}& {\displaystyle ⟺a^2+2a-2\leqq 0⟺-1-\sqrt{3}\leqq a\leqq \sqrt{3}-1.}\end{array}$$したがって共通範囲は$$1-\sqrt{3}\leqq a\leqq \sqrt{3}-1$$である。

(2)

平方完成すると$$f(x)=2{(x-\frac{a}{2})}^2-\frac{3}{2}{a}^2\mathrm{.}$$$u=x-a\mathrm{/}2$ とおけば、負になる範囲は$$-\frac{\sqrt{3}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{2}<u<\frac{\sqrt{3}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{2}$$である。$d=\sqrt{3}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ とおくと、負部分の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_{-}}& {\displaystyle ={\int }_{-d}^d(\frac{3}{2}{a}^2-2u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a^{2}d-\frac{4}{3}{d}^3=\sqrt{3}\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=\frac{4}{3}-2a^2\mathrm{.}$$したがって$$S(a)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx+2A_{-}=\frac{4}{3}-2a^2+2\sqrt{3}\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{.}$$(3)

$u=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ とおけば、最小化する式は$$\frac{4}{3}-2u^2+2\sqrt{3}{u}^3$$である。その導関数の符号は $u=2\sqrt{3}\mathrm{/}9$ を境に負から正へ変わる。よって$$a=\pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$$が求める値である。