名古屋大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数として $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x - a^{2}$ とおく。以下の問に答えよ。

(1) 方程式 $f (x) = 0$ の解 $t$ が，必ず $- 1 ≦ t ≦ 1$ をみたすための $a$ の条件を求めよ。

(2) (1)で求めた条件をみたす $a$ に対して

S (a) = \int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x

とおく。 $S (a)$ の値を求めよ。

(3) $S (a)$ の値が最小となる $a$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1（根と負部分の面積を使う方法）

2根を明示して両方が区間内にある条件を整理する。絶対値積分は、符号を外した積分に「負部分の面積の2倍」を加えて求める。最後は $u = ∣ a ∣$ とおき、1変数の増減を調べる。

解法2（端点条件と平方完成を使う方法）

根の積が非正であることを使い、2根が区間内にある条件を端点値 $f (- 1), f (1)$ で判定する。平方完成して根の中点へ平行移動し、負部分を左右対称な積分として直接計算する。

解答

解法1（根と負部分の面積を使う方法）

(1)

方程式 $f (x) = 0$ の2根は

t_{1} = \frac{1 + 3}{2} a, t_{2} = \frac{1 - 3}{2} a

である。したがって、両方の根が $[- 1, 1]$ に入るための条件は

\frac{1 + 3}{2} a ≦ 1, \frac{1 - 3}{2} a ≦ 1

である。前者の方が強い条件なので、

1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1

を得る。

(2)

2根を $t_{1}, t_{2}$ とすると

f (x) = 2 (x - t_{1}) (x - t_{2})

であり、上に開く放物線だから2根の間でだけ負になる。まず

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (2 x^{2} - 2 a x - a^{2}) d x = \frac{4}{3} - 2 a^{2}

である。

2根の距離は

d = ∣ t_{1} - t_{2} ∣ = 3 ∣ a ∣

である。一般に $2 (x - t_{1}) (x - t_{2})$ の負部分の面積は

\int_{t_{1}}^{t_{2}} - 2 (x - t_{1}) (x - t_{2}) d x = \frac{d ^{3}}{3}

だから、本問では $3 ∣ a ∣^{3}$ である。絶対値を付けると負部分の符号が反転するため、この面積の2倍を加えればよい。よって

S (a) = \frac{4}{3} - 2 a^{2} + 23 ∣ a ∣^{3} .

(3)

$u = ∣ a ∣$ とおくと

0 ≦ u ≦ 3 - 1, S (u) = \frac{4}{3} - 2 u^{2} + 23 u^{3} .

微分すると

S^{'} (u) = 2 u (- 2 + 33 u)

である。したがって $S$ は

0 < u < \frac{2 3}{9}

で減少し、その後は増加する。なお $23 /9 < 3 - 1$ なので、この点は許される範囲内にある。ゆえに

a = \pm \frac{2 3}{9}

のとき $S (a)$ は最小となる。

解法2（端点条件と平方完成を使う方法）

(1)

2根の積は

- \frac{a ^{2}}{2} ≦ 0

であるから、一方の根は0以下、他方は0以上である。よって上に開く放物線の2根がともに $[- 1, 1]$ にあることは

f (- 1) ≧ 0, f (1) ≧ 0

と同値である。

各条件を解くと

f (- 1) ≧ 0 f (1) ≧ 0 ⟺ a^{2} - 2 a - 2 ≦ 0 ⟺ 1 - 3 ≦ a ≦ 1 + 3, ⟺ a^{2} + 2 a - 2 ≦ 0 ⟺ - 1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1.

したがって共通範囲は

1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1

である。

(2)

平方完成すると

f (x) = 2 (x - \frac{a}{2})^{2} - \frac{3}{2} a^{2} .

$u = x - a /2$ とおけば、負になる範囲は

- \frac{3 ∣ a ∣}{2} < u < \frac{3 ∣ a ∣}{2}

である。 $d = 3 ∣ a ∣/2$ とおくと、負部分の面積は

A_{-} = \int_{- d}^{d} (\frac{3}{2} a^{2} - 2 u^{2}) d u = 3 a^{2} d - \frac{4}{3} d^{3} = 3 ∣ a ∣^{3} .

一方、

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{4}{3} - 2 a^{2} .

したがって

S (a) = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + 2 A_{-} = \frac{4}{3} - 2 a^{2} + 23 ∣ a ∣^{3} .

(3)

$u = ∣ a ∣$ とおけば、最小化する式は

\frac{4}{3} - 2 u^{2} + 23 u^{3}

である。その導関数の符号は $u = 23 /9$ を境に負から正へ変わる。よって

a = \pm \frac{2 3}{9}

が求める値である。

名古屋大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（根と負部分の面積を使う方法）

解法2（端点条件と平方完成を使う方法）

解答

解法1（根と負部分の面積を使う方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（端点条件と平方完成を使う方法）

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2020年度
文系数学第1問