名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

上辺を $y=j$ とする。この高さにある格子点の $x$ 座標は$$0,1,\dots ,n-j$$であるから、左右の辺の選び方は$${}_{n-j+1}{\mathrm{C}}_2$$通りである。下辺の高さは $0,1,\dots ,j-1$ の $j$ 通りなので$$R(n)=\sum _{j=1}^{n}j{}_{n-j+1}{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}$$したがって$$R(3)=1\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2+2\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2=5,$$$$R(4)=1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2+2\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2+3\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2=15.$$(2)

下辺が $x$ 軸上に固定されると、上辺の高さ $j$ ごとの個数は$${}_{n-j+1}{\mathrm{C}}_2$$通りである。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(n)}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n{}_{n-j+1}{\mathrm{C}}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{r=1}^n{}_r{\mathrm{C}}_2={}_{n+1}{\mathrm{C}}_3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n-1)(n+1)}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

$r=n-j+1$ とおくと$$R(n)=\frac{1}{2}\sum _{r=1}^n(n+1-r)r(r-1)\mathrm{.}$$ここで$$\sum _{r=1}^{n}r=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{r=1}^n{r}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$$$\sum _{r=1}^n{r}^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$を用いて整理すれば$$R(n)=\frac{n(n-1)(n+1)(n+2)}{24}\mathrm{.}$$(4)

$R(n)=1001$ より$$n(n-1)(n+1)(n+2)=24024.$$$n=12$ のとき$$12\cdot 11\cdot 13\cdot 14=24024$$である。また $R(n)$ は正の整数 $n$ に対して狭義単調増加だから、解は一意である。よって$$n=12.$$

$D_{n+1}$ の長方形を、下辺が $x$ 軸上にあるものと、それ以外に分ける。後者を下へ1だけ平行移動すると $D_n$ の長方形と1対1に対応するため、$R(n+1)=R(n)+S(n+1)$ を得る。

(1)

上辺の高さを固定して直接数えると$$R(3)=1\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2+2\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2=5,$$$$R(4)=1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2+2\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2+3\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2=15.$$(2)

下辺が $x$ 軸上、上辺が $y=j$ 上にある長方形は$${}_{n-j+1}{\mathrm{C}}_2$$個である。したがって$$S(n)=\sum _{j=1}^n{}_{n-j+1}{\mathrm{C}}_2={}_{n+1}{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(n+1)}{6}\mathrm{.}$$(3)

$D_{n+1}$ に含まれる長方形を次の2種類に分ける。$$\begin{array}{ll}\text{下辺が }y=0\text{ 上にあるもの}& S(n+1)\text{ 個},\\ \text{下辺の高さが1以上のもの}& \text{各頂点を下へ1だけ移す}\mathrm{.}\end{array}$$後者を下へ1だけ移すと、条件$$x+y\leqq n+1$$は $x+(y-1)\leqq n$ となり、$D_n$ 内の長方形を得る。逆に $D_n$ の長方形を上へ1だけ移せば後者になるので、これは1対1対応である。よって$$R(n+1)=R(n)+S(n+1)\mathrm{.}$$$R(1)=0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R(n)}& {\displaystyle =\sum _{k=2}^{n}S(k)=\sum _{k=2}^n{}_{k+1}{\mathrm{C}}_3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={}_{n+2}{\mathrm{C}}_4=\frac{n(n-1)(n+1)(n+2)}{24}\mathrm{.}}\end{array}$$(4)$${}_{n+2}{\mathrm{C}}_4=1001$$に $n=12$ を代入すると成り立つ。左辺は $n$ とともに狭義単調増加するので$$n=12$$だけが解である。