名古屋大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面において $x, y$ がともに整数となる点 $(x, y)$ を格子点という。正の整数 $n$ に対して

x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ n

で定まる領域を $D$ とする。4つの頂点がすべて $D$ に含まれる格子点であり， $x$ 軸と平行な辺をもつ長方形の数を $R (n)$ とする。また，そのなかで特に1つの辺が $x$ 軸上にある長方形の数を $S (n)$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $R (3)$ と $R (4)$ を求めよ。

(2) $S (n)$ を求めよ。

(3) $R (n)$ を求めよ。

(4) $R (n) = 1001$ となる $n$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1（上辺の高さを固定して数える方法）

長方形の上辺の高さを $j$ に固定する。その高さにある格子点から左右2本の辺を選び、下辺の高さを選ぶ。得られた和を標準的な和の公式で整理する。

解法2（領域を一段ずつ広げる漸化式）

$D_{n + 1}$ の長方形を、下辺が $x$ 軸上にあるものと、それ以外に分ける。後者を下へ1だけ平行移動すると $D_{n}$ の長方形と1対1に対応するため、 $R (n + 1) = R (n) + S (n + 1)$ を得る。

解答

解法1（上辺の高さを固定して数える方法）

(1)

上辺を $y = j$ とする。この高さにある格子点の $x$ 座標は

0, 1, \dots, n - j

であるから、左右の辺の選び方は

_{n - j + 1} C_{2}

通りである。下辺の高さは $0, 1, \dots, j - 1$ の $j$ 通りなので

R (n) = j = 1 \sum n j_{n - j + 1} C_{2} .

したがって

R (3) = 1 \cdot_{3} C_{2} + 2 \cdot_{2} C_{2} = 5,

R (4) = 1 \cdot_{4} C_{2} + 2 \cdot_{3} C_{2} + 3 \cdot_{2} C_{2} = 15.

(2)

下辺が $x$ 軸上に固定されると、上辺の高さ $j$ ごとの個数は

_{n - j + 1} C_{2}

通りである。よって

S (n) = j = 1 \sum n_{n - j + 1} C_{2} = r = 1 \sum n_{r} C_{2} =_{n + 1} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}{6} .

(3)

$r = n - j + 1$ とおくと

R (n) = \frac{1}{2} r = 1 \sum n (n + 1 - r) r (r - 1) .

ここで

r = 1 \sum n r = \frac{n ( n + 1 )}{2}, r = 1 \sum n r^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6},

r = 1 \sum n r^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}

を用いて整理すれば

R (n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24} .

(4)

$R (n) = 1001$ より

n (n - 1) (n + 1) (n + 2) = 24024.

$n = 12$ のとき

12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 14 = 24024

である。また $R (n)$ は正の整数 $n$ に対して狭義単調増加だから、解は一意である。よって

n = 12.

解法2（領域を一段ずつ広げる漸化式）

(1)

上辺の高さを固定して直接数えると

R (3) = 1 \cdot_{3} C_{2} + 2 \cdot_{2} C_{2} = 5,

R (4) = 1 \cdot_{4} C_{2} + 2 \cdot_{3} C_{2} + 3 \cdot_{2} C_{2} = 15.

(2)

下辺が $x$ 軸上、上辺が $y = j$ 上にある長方形は

_{n - j + 1} C_{2}

個である。したがって

S (n) = j = 1 \sum n_{n - j + 1} C_{2} =_{n + 1} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}{6} .

(3)

$D_{n + 1}$ に含まれる長方形を次の2種類に分ける。

下辺が y = 0 上にあるもの 下辺の高さが 1 以上のもの S (n + 1) 個, 各頂点を下へ 1 だけ移す .

後者を下へ1だけ移すと、条件

x + y ≦ n + 1

は $x + (y - 1) ≦ n$ となり、 $D_{n}$ 内の長方形を得る。逆に $D_{n}$ の長方形を上へ1だけ移せば後者になるので、これは1対1対応である。よって

R (n + 1) = R (n) + S (n + 1) .

$R (1) = 0$ だから

R (n) = k = 2 \sum n S (k) = k = 2 \sum n_{k + 1} C_{3} =_{n + 2} C_{4} = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24} .

(4)

_{n + 2} C_{4} = 1001

に $n = 12$ を代入すると成り立つ。左辺は $n$ とともに狭義単調増加するので

n = 12

だけが解である。

名古屋大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（上辺の高さを固定して数える方法）

解法2（領域を一段ずつ広げる漸化式）

解答

解法1（上辺の高さを固定して数える方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（領域を一段ずつ広げる漸化式）

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2020年度
文系数学第3問