名大 2021年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

共通接線を $C_{1}$ の接点 $(t, t^{2})$ で表し，接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $C_{2}$ に接する条件を判別式0で求める。得られる $t$ の2次方程式が異なる2実根をもつことが，共通接線が2本存在する条件である。2本の接線の交点は根の和と積で整理する。面積では，交点の $x$ 座標が $a$ であることから， $x ≦ a$ 側では左側の接線と $C_{1}$ の差を $t_{1}$ から $a$ まで積分する。

解答

(1) $C_{1} : y = x^{2}$ の導関数は $y^{'} = 2 x$ である。したがって点 $(t, t^{2})$ における接線の傾きは $2 t$ であり，接線は $y - t^{2} = 2 t (x - t)$ すなわち $y = 2 t x - t^{2}$ である。

(2)

(1) の直線が $C_{2}$ にも接するとする。 $C_{2}$ との交点の $x$ 座標は $- x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4} = 2 t x - t^{2}$ を満たす。整理すると $x^{2} + (2 t - 4 a) x + 4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2} = 0$ である。

この2次方程式が重解をもつことが接する条件であるから，判別式を0にして $(2 t - 4 a)^{2} - 4 (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0$ を得る。これを整理すると $t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0$ である。

異なる2つの共通接線をもつには，この $t$ の2次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。したがって $(- 2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 a^{4} > 0$ であり， $4 a^{2} (1 - 2 a^{2}) > 0$ である。 $a > 0$ より，求める範囲は $0 < a < \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

(3) $d = \sqrt{1 - 2 a^{2}}$ とおく。(2) の2次方程式の2解を $t_{1}, t_{2}$ とすると $t_{1} = a (1 - d), t_{2} = a (1 + d)$ である。2つの接線は $y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}, y = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ である。

交点の $x$ 座標は $2 t_{1} x - t_{1}^{2} = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ より， $t_{1} \neq t_{2}$ に注意して $2 x = t_{1} + t_{2}$ である。したがって $x = \frac{t_{1} + t_{2}}{2} = a$ である。この値を接線の式に代入すると $y = 2 t_{1} a - t_{1}^{2} = t_{1} (2 a - t_{1})$ であるが， $t_{1} + t_{2} = 2 a$ なので $y = t_{1} t_{2} = 2 a^{4}$ である。よって交点は $(a, 2 a^{4})$ である。

形状確認のため $a = \frac{1}{2}$ の場合を描いた。

(4) $t_{1} < t_{2}$ とする。2本の接線の差は $(2 t_{1} x - t_{1}^{2}) - (2 t_{2} x - t_{2}^{2}) = 2 (t_{1} - t_{2}) (x - a)$ である。 $t_{1} < t_{2}$ なので， $x < a$ では左側の接線 $y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}$ の方が上にある。

また放物線 $C_{1}$ とその接線の差は $x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2}) = (x - t_{1})^{2}$ である。したがって $D_{1}$ と $D_{2} : x ≦ a$ の共通部分の面積は $\begin{aligned} S (a) & = \int_{t_{1}}^{a} {x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2})} d x \\ = \int_{t_{1}}^{a} (x - t_{1})^{2} d x \\ = \frac{(a - t_{1})^{3}}{3} \end{aligned}$ である。

ここで $a - t_{1} = a - a (1 - d) = a d = a \sqrt{1 - 2 a^{2}}$ だから $S (a) = \frac{a^{3} (1 - 2 a^{2})^{3 / 2}}{3}$ である。

別解

解法2（両放物線の接線係数を直接比較する）

方針

もう一方の放物線 $C_{2}$ の接点を $s$ とし，その接線の傾きと切片を $C_{1}$ の接線と直接比較する。共通接線条件を2つの係数条件に分けることで，交点方程式の判別式を計算せずに接点パラメータ $t$ の2次方程式を得る。後半は解と係数の関係で交点・面積を整理する。

解答

(1) $C_{1}$ の点 $(t, t^{2})$ における接線は $y = 2 t x - t^{2}$ である。

(2) $C_{2}$ の点 $(s, - s^{2} + 4 a s - 4 a^{2} + 4 a^{4})$ における接線は $y = (- 2 s + 4 a) x + s^{2} - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ である。これが上の直線と一致するための条件は $2 t = - 2 s + 4 a, - t^{2} = s^{2} - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ である。第1式から $s = 2 a - t$ であり，第2式へ代入すると $t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0$ を得る。この方程式が異なる2実根をもつ条件は $4 a^{2} (1 - 2 a^{2}) > 0$ であるから， $a > 0$ と合わせて $0 < a < 1 / \sqrt{2}$ である。

(3) 2根を $t_{1} < t_{2}$ とすると $t_{1} + t_{2} = 2 a, t_{1} t_{2} = 2 a^{4}$ である。2接線の交点では $2 t_{1} x - t_{1}^{2} = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ だから $x = (t_{1} + t_{2}) / 2 = a$ であり， $y = t_{1} t_{2} = 2 a^{4}$ である。

(4) $d = \sqrt{1 - 2 a^{2}}$ とおけば $t_{1} = a (1 - d)$ である。 $x ≦ a$ 側では $t_{1}$ における接線が境界となり，放物線との差は $(x - t_{1})^{2}$ だから $S (a) = \int_{t_{1}}^{a} (x - t_{1})^{2} d x = \frac{(a - t_{1})^{3}}{3} = \frac{a^{3} (1 - 2 a^{2})^{3 / 2}}{3}$ である。

総評

難度6、計算量6。想定時間は22分程度。接線を接点パラメータで表し，もう一方の放物線への接触を判別式で処理する標準的な構成である。交点の座標は2つの $t$ の和と積で出せるため，根を直接代入して計算を膨らませないのが重要である。(4) では $x ≦ a$ 側でどちらの接線が境界になるかを確認してから積分する必要があり，ここを図だけで曖昧にすると面積の範囲を誤りやすい。係数比較による別解では，両放物線の接線を接点ごとに書くことで，共通接線条件の由来がより明確になる。

出典: 名古屋大学 2021年度前期日程第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

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名古屋大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問