名古屋大学 2025年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$f^{\prime \prime }(x)>0$ がすべての $x$ で成り立つので，$f^{\prime }(x)$ は狭義単調増加である。さらに ${\lim }_{x\to -\infty }{f}^{\prime }(x)=a,{\lim }_{x\to \infty }{f}^{\prime }(x)=b$ であり，$a<c<b$ である。

$f^{\prime }$ の単調性と $f^{\prime }(x_0)=c$ の位置関係は次の図のようになる。

極限の定義より，十分小さい $x_1$ を取れば $f^{\prime }(x_1)<c$ となり，十分大きい $x_2$ を取れば $f^{\prime }(x_2)>c$ となる。$f^{\prime }$ は連続であるから，中間値の定理により，ある $x_0$ が存在して $f^{\prime }(x_0)=c$ を満たす。さらに $f^{\prime }$ は狭義単調増加なので，このような $x_0$ はただ1つである。

次に $g(x)=cx-f(x)$ とおくと $g^{\prime }(x)=c-f^{\prime }(x)$ である。$f^{\prime }$ の狭義単調増加性と $f^{\prime }(x_0)=c$ より，$x<x_0\text{ なら }{f}^{\prime }(x)<c,x>x_0\text{ なら }{f}^{\prime }(x)>c$ である。したがって $x<x_0\text{ で }{g}^{\prime }(x)>0,x>x_0\text{ で }{g}^{\prime }(x)<0$ となる。よって $g(x)$ は $x_0$ まで増加し，$x_0$ 以後は減少する。したがって $g(x)$ の値を最大にする点 $x=x_0$ がただ1つ存在する。

(2)

$f(x)=\log \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$ である。定数 $2$ は微分で消えるので，

である。さらに微分すると

である。

また $f^{\prime }(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ と書ける。$x\to -\infty$ のとき $e^{2x}\to 0$ なので ${\lim }_{x\to -\infty }{f}^{\prime }(x)=-1$ であり，$x\to \infty$ のとき $e^{2x}\to \infty$ なので ${\lim }_{x\to \infty }{f}^{\prime }(x)=1$ である。したがって $a=-1,b=1$ である。

(3)

(2)より $a=-1$，$b=1$ であるから，$a<c<b$ は $-1<c<1$ を意味する。$x_0$ は $f^{\prime }(x_0)=c$ を満たす点である。$u=e^{2x_0}$ とおくと $u>0$ であり，$c=\frac{u-1}{u+1}$ である。これを解くと $c(u+1)=u-1$ より $(1-c)u=1+c$ である。したがって $u=\frac{1+c}{1-c}$ であり，$x_0=\frac{1}{2}\log \frac{1+c}{1-c}$ である。

次に $f(x_0)$ を求める。上の $u=e^{2x_0}$ を用いると $e^{x_0}=\sqrt{u},e^{-x_0}=\frac{1}{\sqrt{u}}$ である。よって

である。$u=(1+c)/(1-c)$ を代入すると $\frac{u+1}{2\sqrt{u}}=\frac{1}{\sqrt{1-c^2}}$ となる。したがって $f(x_0)=\log \frac{1}{\sqrt{1-c^2}}=-\frac{1}{2}\log (1-c^2)$ である。

よって

である。よって

である。