名古屋大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
まず $0<\alpha <\pi$ の場合を考える。円板 $C$ の中心は，原点を中心とする半径1の円周上を，角度 $0$ から $\alpha$ まで動く。したがって通過領域は，この円弧から距離 $r$ 以内にある点全体である。

円板の中心は半径1の円弧上を動く。通過領域は、円弧の途中に対応する帯と両端の半円に分けられる。

円弧の途中に対応する部分を考える。原点から見た偏角が $0$ と $\alpha$ の間にある点については，中心の動く円弧に垂直な方向，つまり半径方向に幅 $r$ だけ広がる。したがって中央の帯は，半径 $1-r\leqq \rho \leqq 1+r$ の範囲，偏角 $0\leqq \theta \leqq \alpha$ の扇形部分である。その面積は $$\frac{1}{2}\{(1+r{)}^2-(1-r{)}^2\}\alpha =\frac{1}{2}\cdot 4r\alpha =2r\alpha$$ である。

さらに，円弧の始点と終点では，半径 $r$ の円板の半分ずつが中央の帯の外側に付け加わる。2つの半円の面積の合計は，半径 $r$ の円1つ分なので $\pi r^2$ である。

よって通過領域の面積は $\pi r^2+2r\alpha$ である。$\alpha =0$ のときは円板が動かないので面積は $\pi r^2$ であり，上の式に $\alpha =0$ を代入した値と一致する。したがって $0\leqq \alpha <\pi$ 全体でこの式が成り立つ。

(2)
次に球の場合を考える。まず $0<\alpha <\pi$ とする。球 $B$ の中心は，$xy$ 平面内の半径1の円弧 $$(\cos \theta ,\sin \theta ,0)(0\leqq \theta \leqq \alpha )$$ 上を動く。通過領域は，この円弧から距離 $R$ 以内の空間領域である。

中央部分を，$z$ 軸を含む半平面で切って考える。中心の円弧の途中では，半径方向を $\rho$ とすると，断面は $(\rho -1{)}^2+z^2\leqq R^2$ で表される円である。偏角が $0$ から $\alpha$ まで動く中央部分の体積は，半径 $\rho$ の薄い扇形の面積を高さ方向に積み重ねることで求められる。

固定した $\rho$ における高さは $2\sqrt{R^2-(\rho -1{)}^2}$ であるから，中央部分の体積は $\alpha {\int }_{1-R}^{1+R}\rho \cdot 2\sqrt{R^2-(\rho -1{)}^2}d\rho$ である。ここで $u=\rho -1$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \alpha {\int }_{-R}^R(1+u)2\sqrt{R^2-u^2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\alpha {\int }_{-R}^{R}2\sqrt{R^2-u^2}du+\alpha {\int }_{-R}^{R}2u\sqrt{R^2-u^2}du}\end{array}$$である。第2項は奇関数の積分なので0であり，第1項は半径 $R$ の円の面積である。したがって中央部分の体積は $\pi R^2\alpha$ である。

残る両端には，半径 $R$ の半球が1つずつ付く。2つの半球の体積の合計は半径 $R$ の球1つ分なので $\frac{4}{3}\pi R^3$ である。

よって通過領域の体積は $\frac{4}{3}\pi R^3+\pi R^2\alpha$ である。$\alpha =0$ のときは球が動かないので体積は $4\pi R^3\mathrm{/}3$ であり，上の式に $\alpha =0$ を代入した値と一致する。