問題
つのチームとが野球の試合を繰り返し行い，先に勝したチームを優勝とする．第戦はのホームゲームであり，第戦はのホームゲームである．のホームゲームでが勝つ確率はであり，のホームゲームでが勝つ確率はとする．各試合で引き分けはないものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1) どちらかの優勝が決まるまでにが勝以上する確率を求めよ．
(2) のホームゲームでが優勝する確率を求めよ．
(3) 第戦ともが勝ち，かつが優勝する確率を求めよ．
方針
解法1
各試合で が勝つ確率を試合順に並べ，優勝が決まる時点を意識して数える。(1)は余事象，(2)は第4戦または第5戦で が4勝目を挙げる場合，(3)は第1,2戦勝利後に残り5試合で が2勝以上する場合として整理する。
解法2（優勝決定戦ごとの直接列挙）
優勝が決まる第4〜第7戦で場合を分け，勝敗列を重複なく数える。(1)は4連敗の余事象，(2)は第4・第5戦でのTの決着，(3)は第1・2戦を固定してSが第4〜第7戦で決着させる確率を足す。
解答
解法1
(1)
が1勝もしないのは，最初の4試合をすべて が勝つ場合だけである。その確率は
である。したがって求める確率は
である。
(2)
のホームゲームで優勝が決まるのは，第4戦または第5戦で が4勝目を挙げる場合である。
第4戦で決まる確率は
である。第5戦で決まるには，第4戦終了時に が3勝1敗で，第5戦を が勝てばよい。最初の4試合で がちょうど1勝する確率は
であるから，第5戦で決まる確率は
である。よって求める確率は
である。
(3)
第1,2戦をともに が勝つ確率は である。この後，残りの第3戦から第7戦までで が2勝以上すれば が優勝する。
残り5試合で が0勝である確率は
である。また，残り5試合で がちょうど1勝である確率は
である。したがって，第1,2戦を勝った後に が優勝する確率は
である。求める確率は
である。
解法2（優勝決定戦ごとの直接列挙）
(1)
Sが一度も勝たないまま優勝が決まる勝敗列は，最初の4試合をTが勝つ1通りだけである。その確率は
だから，求める確率は
である。
(2)
Tがホームで優勝するのは第4戦または第5戦である。第4戦決着はTの4連勝なので確率は である。
第5戦決着では，第1〜4戦でSがちょうど1勝し，第5戦をTが勝つ。Sの1勝が第1・2戦のどちらかにある2通りの確率はそれぞれ
である。Sの1勝が第3・4戦のどちらかにある2通りの確率はそれぞれ
である。したがって
である。
(3)
第1・2戦をともにSが勝ったうえで，Sが第4・5・6・7戦に優勝を決める確率を順に数える。
第4戦決着では第3・4戦もSが勝つから
である。第5戦決着では第3・4戦で1勝1敗，第5戦をSが勝つから
である。第6戦決着では第3〜5戦でSが1勝2敗，第6戦をSが勝つから
である。第7戦決着では，第3〜6戦でSがちょうど1勝し，第7戦をSが勝つ。Sの1勝が第3〜5戦にある場合と第6戦にある場合を分けると
である。よって求める確率は
である。