岡山大学 2021年度 前期文系数学 第1問

(1)
$S$ が1勝もしないのは，最初の4試合をすべて $T$ が勝つ場合だけである。その確率は$${\left(\frac{2}{5}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{1}{9}$$である。したがって求める確率は$$1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$である。

(2)
$T$ のホームゲームで優勝が決まるのは，第4戦または第5戦で $T$ が4勝目を挙げる場合である。

第4戦で決まる確率は$${\left(\frac{2}{5}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{1}{9}$$である。第5戦で決まるには，第4戦終了時に $T$ が3勝1敗で，第5戦を $T$ が勝てばよい。最初の4試合で $S$ がちょうど1勝する確率は$$2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}{\left(\frac{5}{6}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{17}{45}$$であるから，第5戦で決まる確率は$$\frac{17}{45}\cdot \frac{5}{6}=\frac{17}{54}$$である。よって求める確率は$$\frac{1}{9}+\frac{17}{54}=\frac{23}{54}$$である。

(3)
第1,2戦をともに $S$ が勝つ確率は $(3\mathrm{/}5{)}^2=9\mathrm{/}25$ である。この後，残りの第3戦から第7戦までで $S$ が2勝以上すれば $S$ が優勝する。

残り5試合で $S$ が0勝である確率は$${\left(\frac{5}{6}\right)}^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{5}{54}$$である。また，残り5試合で $S$ がちょうど1勝である確率は$$3\cdot \frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^2{\left(\frac{2}{5}\right)}^2+2\cdot \frac{3}{5}{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\frac{2}{5}=\frac{1}{18}+\frac{5}{18}=\frac{1}{3}$$である。したがって，第1,2戦を勝った後に $S$ が優勝する確率は$$1-\frac{5}{54}-\frac{1}{3}=\frac{31}{54}$$である。求める確率は$$\frac{9}{25}\cdot \frac{31}{54}=\frac{31}{150}$$である。

優勝が決まる第4〜第7戦で場合を分け，勝敗列を重複なく数える。(1)は4連敗の余事象，(2)は第4・第5戦でのTの決着，(3)は第1・2戦を固定してSが第4〜第7戦で決着させる確率を足す。

(1)
Sが一度も勝たないまま優勝が決まる勝敗列は，最初の4試合をTが勝つ1通りだけである。その確率は$${\left(\frac{2}{5}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{1}{9}$$だから，求める確率は$$1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$である。

(2)
Tがホームで優勝するのは第4戦または第5戦である。第4戦決着はTの4連勝なので確率は $1\mathrm{/}9$ である。

第5戦決着では，第1〜4戦でSがちょうど1勝し，第5戦をTが勝つ。Sの1勝が第1・2戦のどちらかにある2通りの確率はそれぞれ$$\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{5}{36}$$である。Sの1勝が第3・4戦のどちらかにある2通りの確率はそれぞれ$${\left(\frac{2}{5}\right)}^2\frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{1}{54}$$である。したがって$$\frac{1}{9}+2\cdot \frac{5}{36}+2\cdot \frac{1}{54}=\frac{23}{54}$$である。

(3)
第1・2戦をともにSが勝ったうえで，Sが第4・5・6・7戦に優勝を決める確率を順に数える。

第4戦決着では第3・4戦もSが勝つから$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{100}$$である。第5戦決着では第3・4戦で1勝1敗，第5戦をSが勝つから$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2\cdot 2\cdot \frac{1}{6}\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{60}$$である。第6戦決着では第3〜5戦でSが1勝2敗，第6戦をSが勝つから$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2\cdot 3\cdot \frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^2\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{40}$$である。第7戦決着では，第3〜6戦でSがちょうど1勝し，第7戦をSが勝つ。Sの1勝が第3〜5戦にある場合と第6戦にある場合を分けると$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2\{3\cdot \frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^2\frac{2}{5}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\frac{3}{5}\}\frac{3}{5}=\frac{21}{200}$$である。よって求める確率は$$\frac{1}{100}+\frac{1}{60}+\frac{3}{40}+\frac{21}{200}=\frac{31}{150}$$である。