岡山大学 2021年度 前期文系数学 第4問

(1)
$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。2点 $(1,1),(-1,-1)$ を通るので$$a+b+c=1,a-b+c=-1$$である。よって $b=1,c=-a$ となり，$$f(x)=a{x}^2+x-a$$である。

頂点の $x$ 座標は $-1\mathrm{/}(2a)$ である。これが正であるから $a<0$ である。頂点の $y$ 座標は$$-a-\frac{1}{4a}$$である。$u=-a$ とおくと $u>0$ で，この値は$$u+\frac{1}{4u}\geqq 2\sqrt{u\cdot \frac{1}{4u}}=1$$である。等号は $u=1\mathrm{/}2$，すなわち $a=-1\mathrm{/}2$ のとき成り立つ。したがって最小値は$$1$$である。

(2)
放物線と直線 $y=x$ の差は$$f(x)-x=a(x^2-1)$$である。交点は $x=-1,1$ であり，囲まれた図形の面積は$${\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }(1-x^2)dx=\frac{4\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{3}$$である。

頂点の $y$ 座標が $0\leqq y\leqq 2$ にあるには，(1)の形から $a<0$ でなければならない。$u=-a>0$ とおくと$$u+\frac{1}{4u}\leqq 2$$である。両辺に $4u$ をかけて$$4u^2-8u+1\leqq 0$$となるから$$1-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq u\leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。面積は $4u\mathrm{/}3$ であるから，最小値と最大値はそれぞれ$$\frac{4-2\sqrt{3}}{3},\frac{4+2\sqrt{3}}{3}$$である。

頂点の $x$ 座標を $h$ と置き，係数 $a$ を消去して頂点の $y$ 座標を $h$ と $1\mathrm{/}h$ の和で表す。(2)は $h$ の範囲と面積の単調性から端点を選ぶ。

(1)
通過条件から，放物線は$$f(x)=a{x}^2+x-a(a\mathrm{\ne }0)$$と書ける。頂点の $x$ 座標を $h$ とすると$$h=-\frac{1}{2a}$$である。条件より $h>0$ なので $a=-1\mathrm{/}(2h)$ である。頂点の $y$ 座標を $k$ とすると$$k=f(h)=\frac{1}{2}(h+\frac{1}{h})$$である。相加相乗平均より$$h+\frac{1}{h}\geqq 2$$であり，等号は $h=1$ のときに成り立つ。よって $k$ の最小値は$$1$$である。

(2)
$0\leqq k\leqq 2$ と $k=(h+1\mathrm{/}h)\mathrm{/}2$ より$$h+\frac{1}{h}\leqq 4$$である。$h>0$ だから$$h^2-4h+1\leqq 0$$となり，$$2-\sqrt{3}\leqq h\leqq 2+\sqrt{3}$$を得る。

放物線と直線の差は $a(x^2-1)$ であり，$a<0$ だから，囲まれた部分は次図のようになる。

面積 $S$ は$$S={\int }_{-1}^1\{f(x)-x\}dx=\frac{4(-a)}{3}=\frac{2}{3h}$$である。これは $h>0$ で単調減少するから，最大値は $h=2-\sqrt{3}$，最小値は $h=2+\sqrt{3}$ のときである。したがって$$S_{\max }=\frac{2}{3(2-\sqrt{3})}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3},S_{\min }=\frac{2}{3(2+\sqrt{3})}=\frac{4-2\sqrt{3}}{3}$$である。