岡山大学 2021年度 前期理系数学 第1問

(1) $$\sin 3x=-\sin x$$は$$\sin 3x+\sin x=0$$と同値である。和積公式より$$2\sin 2x\cos x=0$$であるから，$0\leqq x\leqq 2\pi$ で$$x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$$である。

(2) $$\sin 3x=\sin x$$は$$\sin 3x-\sin x=0$$と同値である。よって$$2\cos 2x\sin x=0$$であるから，$$x=0,\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},2\pi$$である。

(3)
固定した $x$ に対して，$-1\leqq a\leqq 1$ の範囲で $a\sin x$ の最大値を考える。

$\sin x\geqq 0$ のとき，すべての $a$ について成り立つ条件は$$\sin 3x\geqq \sin x$$である。これは$$2\sin x\cos 2x\geqq 0$$と同値であり，$0\leqq x\leqq \pi$ で$$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\leqq x\leqq \pi$$を得る。また，端点 $x=2\pi$ でも両辺は0である。

$\sin x<0$ のとき，すべての $a$ について成り立つ条件は$$\sin 3x\geqq -\sin x$$である。すなわち$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x\geqq 0$$である。区間 $\pi <x<2\pi$ でこれが成り立つのは$$x=\frac{3\pi }{2}$$だけである。

以上より，求める範囲は$$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\leqq x\leqq \pi ,x=\frac{3\pi }{2},x=2\pi$$である。

$s=\sin x$ と置き，$\sin 3x=3s-4s^3$ を用いて(1)(2)を同じ3次式として解く。(3)は $a$ の1次式が区間 $[-1,1]$ 全体で非負となる条件を両端 $a=\pm 1$ で判定する。

(1)
$s=\sin x$ とおく。3倍角の公式より$$\sin 3x+\sin x=4s(1-s^2)$$である。したがって $s=0,\pm 1$ であり，$$x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$$である。

(2)
同様に$$\sin 3x-\sin x=2s(1-2s^2)$$であるから，$s=0,\pm 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。よって$$x=0,\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},2\pi$$である。

(3)
固定した $x$ に対し$$F(a)=\sin 3x-a\sin x$$は $a$ の1次式である。したがって $-1\leqq a\leqq 1$ のすべてで $F(a)\geqq 0$ となるための必要十分条件は$$F(-1)\geqq 0,F(1)\geqq 0$$である。$s=\sin x$ とおくと，これは$$4s(1-s^2)\geqq 0,2s(1-2s^2)\geqq 0$$となる。$-1\leqq s\leqq 1$ で両方を満たすのは$$s=-1\text{または}0\leqq s\leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$である。したがって$$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\leqq x\leqq \pi ,x=\frac{3\pi }{2},x=2\pi$$である。範囲は数直線上で次のように表せる。