岡山大学 2021年度理系数学第1問解答・解説

問題

$0 ≦ x ≦ 2 π$ のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　方程式 $sin 3 x = - sin x$ を満たす $x$ の値をすべて求めよ．

(2)　方程式 $sin 3 x = sin x$ を満たす $x$ の値をすべて求めよ．

(3)　不等式 $sin 3 x ≧ a sin x$ が $- 1 ≦ a ≦ 1$ を満たすすべての $a$ に対して成り立つような $x$ の値の範囲を求めよ．

出典：岡山大学 2021年度前期理系第1問

方針

解法1

(1)(2)は和積公式で因数分解する。(3)は固定した $x$ に対して $a sin x$ の最大値を考え， $sin x ≧ 0$ と $sin x < 0$ に分ける。

解法2（正弦を変数とする3次式）

$s = sin x$ と置き， $sin 3 x = 3 s - 4 s^{3}$ を用いて(1)(2)を同じ3次式として解く。(3)は $a$ の1次式が区間 $[- 1, 1]$ 全体で非負となる条件を両端 $a = \pm 1$ で判定する。

解答

解法1

(1)

sin 3 x = - sin x

は

sin 3 x + sin x = 0

と同値である。和積公式より

2 sin 2 x cos x = 0

であるから， $0 ≦ x ≦ 2 π$ で

x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

である。

(2)

sin 3 x = sin x

は

sin 3 x - sin x = 0

と同値である。よって

2 cos 2 x sin x = 0

であるから，

x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, π, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, 2 π

である。

(3)

固定した $x$ に対して， $- 1 ≦ a ≦ 1$ の範囲で $a sin x$ の最大値を考える。

$sin x ≧ 0$ のとき，すべての $a$ について成り立つ条件は

sin 3 x ≧ sin x

である。これは

2 sin x cos 2 x ≧ 0

と同値であり， $0 ≦ x ≦ π$ で

0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4} ≦ x ≦ π

を得る。また，端点 $x = 2 π$ でも両辺は0である。

$sin x < 0$ のとき，すべての $a$ について成り立つ条件は

sin 3 x ≧ - sin x

である。すなわち

sin 3 x + sin x = 2 sin 2 x cos x ≧ 0

である。区間 $π < x < 2 π$ でこれが成り立つのは

x = \frac{3 π}{2}

だけである。

以上より，求める範囲は

0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4} ≦ x ≦ π, x = \frac{3 π}{2}, x = 2 π

である。

解法2（正弦を変数とする3次式）

(1)

$s = sin x$ とおく。3倍角の公式より

sin 3 x + sin x = 4 s (1 - s^{2})

である。したがって $s = 0, \pm 1$ であり，

x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

である。

(2)

同様に

sin 3 x - sin x = 2 s (1 - 2 s^{2})

であるから， $s = 0, \pm 1/ 2$ である。よって

x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, π, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, 2 π

である。

(3)

固定した $x$ に対し

F (a) = sin 3 x - a sin x

は $a$ の1次式である。したがって $- 1 ≦ a ≦ 1$ のすべてで $F (a) ≧ 0$ となるための必要十分条件は

F (- 1) ≧ 0, F (1) ≧ 0

である。 $s = sin x$ とおくと，これは

4 s (1 - s^{2}) ≧ 0, 2 s (1 - 2 s^{2}) ≧ 0

となる。 $- 1 ≦ s ≦ 1$ で両方を満たすのは

s = - 1 または 0 ≦ s ≦ \frac{1}{2}

である。したがって

0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4} ≦ x ≦ π, x = \frac{3 π}{2}, x = 2 π

である。範囲は数直線上で次のように表せる。

岡山大学 2021年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（正弦を変数とする3次式）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（正弦を変数とする3次式）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2021年度
理系数学第1問