岡山大学 2021年度理系数学第4問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対して，関数 $f (x) = x^{2 n}$ を考える． $t > 0$ に対して，曲線 $y = f (x)$ 上の $3$ 点

$A (- t, f (- t)),$ $O (0, 0),$ $B (t, f (t))$

を通る円の中心を $(p (t), q (t)),$ 半径を $r (t)$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　極限 $lim_{t \to + 0} p (t),$ $lim_{t \to + 0} q (t),$ $lim_{t \to + 0} r (t)$ がすべて収束するとき $n = 1$ であることを示せ．また，このとき $a = lim_{t \to + 0} p (t),$ $b = lim_{t \to + 0} q (t),$ $c = lim_{t \to + 0} r (t)$ の値を求めよ．

(2)　 $a,$ $b, c$ を(1)で求めたものとする．このとき，中心 $(a, b),$ 半径 $c$ の円と放物線 $y = x^{2}$ および直線 $x = b$ で囲まれた図形を， $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ．

出典：岡山大学 2021年度前期理系第4問

方針

解法1

3点が $y$ 軸対称にあるので円の中心は $y$ 軸上にある。中心と半径を $t, n$ で表して極限を調べる。(2)は得られた円の下側の弧と放物線に挟まれる部分を回転させ，ワッシャー法で積分する。

解法2（円の一般式と四分円の面積）

円を $x^{2} + y^{2} + D x + E y = 0$ と置き，対称な2点の代入式の差から中心を求める。(2)は根号積分を直接置換せず，半径 $1/2$ の四分円の面積として処理する。

解答

解法1

(1)

曲線 $y = x^{2 n}$ は $y$ 軸に関して対称であり，点 $A, B$ も $y$ 軸に関して対称である。したがって，3点を通る円の中心は $y$ 軸上にあり，

p (t) = 0

である。

中心を $(0, q (t))$ とする。点 $O$ と点 $B (t, t^{2 n})$ までの距離が等しいので

q (t)^{2} = t^{2} + (t^{2 n} - q (t))^{2}

である。これより

2 q (t) t^{2 n} = t^{2} + t^{4 n}

となるから

q (t) = \frac{t ^{2 - 2 n} + t ^{2 n}}{2}

である。また半径は

r (t) = q (t)

である。

$n = 1$ のとき

q (t) = r (t) = \frac{1 + t ^{2}}{2}

であり， $t \to + 0$ でともに $1/2$ に収束する。 $n ≧ 2$ のときは $t^{2 - 2 n} \to + \infty$ であるから， $q (t), r (t)$ は収束しない。よって，3つの極限がすべて収束するとき

n = 1

であり，このとき

a = 0, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2}

である。

(2)

(1)より円は

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

である。放物線 $y = x^{2}$ とこの円は原点で接し，直線 $x = b = 1/2$ によって囲まれる部分は

0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}

で，放物線 $y = x^{2}$ と円の下側の弧

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2}

に挟まれる部分である。

したがって回転体の体積は

V = π \int_{0}^{1/2} ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2})^{2} - x^{4} ⎭ ⎬ ⎫ d x

である。ここで

(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2})^{2} = \frac{1}{2} - x^{2} - \frac{1}{4} - x^{2}

であり，

\int_{0}^{1/2} \frac{1}{4} - x^{2} d x = \frac{π}{16}

である。よって

V = π (\frac{1}{4} - \frac{1}{24} - \frac{π}{16} - \frac{1}{160}) = \frac{97 π}{480} - \frac{π ^{2}}{16}

である。

解法2（円の一般式と四分円の面積）

(1)

円は原点を通るから，一般式を

x^{2} + y^{2} + D x + E y = 0

と書ける。 $A (- t, t^{2 n})$ ， $B (t, t^{2 n})$ を代入すると

t^{2} + t^{4 n} - D t + E t^{2 n} t^{2} + t^{4 n} + D t + E t^{2 n} = 0, = 0

である。2式の差から $D = 0$ であり，さらに

E = - (t^{2 - 2 n} + t^{2 n})

を得る。したがって中心と半径は

p (t) = 0, q (t) = r (t) = \frac{1}{2} (t^{2 - 2 n} + t^{2 n})

である。 $n ≧ 2$ では $t^{2 - 2 n} \to + \infty$ なので収束せず， $n = 1$ なら

q (t) = r (t) = \frac{1 + t ^{2}}{2} ⟶ \frac{1}{2}

である。よって

n = 1, (a, b, c) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

である。

(2)

得られた円は

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

であり，放物線 $y = x^{2}$ と原点で接する。囲まれる領域は次図の着色部分である。

回転体積は

V = π \int_{0}^{1/2} ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2})^{2} - x^{4} ⎭ ⎬ ⎫ d x

である。平方を展開すると

(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - x^{2})^{2} = \frac{1}{2} - x^{2} - \frac{1}{4} - x^{2}

であるから

\frac{V}{π} = \int_{0}^{1/2} (\frac{1}{2} - x^{2} - x^{4}) d x - \int_{0}^{1/2} \frac{1}{4} - x^{2} d x = (\frac{1}{4} - \frac{1}{24} - \frac{1}{160}) - \frac{π}{16} = \frac{97}{480} - \frac{π}{16}

となる。第2積分は半径 $1/2$ の四分円の面積である。したがって

V = \frac{97 π}{480} - \frac{π ^{2}}{16}

である。

岡山大学 2021年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2（円の一般式と四分円の面積）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（円の一般式と四分円の面積）

(1)

(2)

岡山大学 2021年度
理系数学第4問