岡山大学 2021年度理系数学第2問解答・解説

問題

$z$ は複素数で， $z \neq = 0,$ $z \neq = \pm 1$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上の $3$ 点 $A (1),$ $B (z),$ $C (z^{2})$ が一直線上にあるための $z$ についての必要十分条件を求めよ．

(2)　複素数平面上の $3$ 点 $A (1),$ $B (z),$ $C (z^{2})$ が $∠ C$ を直角とする直角三角形の $3$ 頂点になるような $z$ 全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　複素数平面上の $3$ 点 $A (1),$ $B (z),$ $C (z^{2})$ が直角三角形の $3$ 頂点になるような $z$ 全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

出典：岡山大学 2021年度前期理系第2問

方針

解法1

一直線上は $(z^{2} - 1) / (z - 1) = z + 1$ が実数である条件にする。直角条件は，2つの複素数の比が純虚数になることを用い，それぞれの頂点での条件を $z = x + y i$ の軌跡に直す。

解法2（内積で3つの直角条件を統一）

複素数 $u, v$ が表すベクトルの内積を $Re (u \overline{v})$ で表す。各頂点の2辺の内積を因数分解すると，2本の直線と1つの円が同じ計算で得られる。

解答

解法1

(1)

$z \neq = 1$ より，

\frac{z ^{2} - 1}{z - 1} = z + 1

である。3点 $A (1), B (z), C (z^{2})$ が一直線上にあるための必要十分条件は， $A B$ と $A C$ の比が実数であることである。したがって

z + 1 が実数

であればよい。よって求める条件は

z は実数，かつ z \neq = 0, \pm 1

である。

(2)

$z = x + y i$ とおく。角 $C$ が直角であるための必要十分条件は

\frac{1 - z ^{2}}{z - z ^{2}}

が純虚数であることである。ここで

\frac{1 - z ^{2}}{z - z ^{2}} = \frac{( 1 - z ) ( 1 + z )}{z ( 1 - z )} = 1 + \frac{1}{z}

であるから，実部が0であればよい。すなわち

1 + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} = 0

である。よって

x^{2} + y^{2} + x = 0

となり，

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

である。ただし $z = 0, - 1$ は除く。したがって図形は，中心 $(- 1/2, 0)$ ，半径 $1/2$ の円から点 $0, - 1$ を除いたものである。

(3)

直角が $A$ にあるとき，

\frac{z ^{2} - 1}{z - 1} = z + 1

が純虚数であるから， $z + 1$ の実部は0である。したがって $x = - 1$ である。ただし $z = - 1$ は除く。

直角が $B$ にあるとき，

\frac{z ^{2} - z}{1 - z} = - z

が純虚数であるから

x = 0

である。ただし $z = 0$ は除く。

直角が $C$ にあるときは(2)より

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

であり， $z = 0, - 1$ を除く。

したがって求める図形は，

x = 0 (z \neq = 0), x = - 1 (z \neq = - 1),

および

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} (z \neq = 0, - 1)

の和集合である。

解法2（内積で3つの直角条件を統一）

(1)

$A$ から見た2辺を複素数で表すと

A B = z - 1, A C = z^{2} - 1 = (z - 1) (z + 1)

である。 $z \neq = 1$ なので，これらが平行であるための必要十分条件は $z + 1$ が実数であることである。したがって

Im z = 0

であり，除外条件を合わせると $z$ は $0, \pm 1$ 以外の実数である。

(2)

$z = x + y i$ とおく。角 $C$ が直角である条件は

C A \cdot C B = 0

である。複素数による内積を用いると

C A \cdot C B = Re ((1 - z^{2}) \overline{(z - z^{2})}) = ∣1 - z ∣^{2} Re ((1 + z) \overline{z}) = ∣1 - z ∣^{2} (x^{2} + y^{2} + x)

である。 $z \neq = 1$ より，求める条件は

x^{2} + y^{2} + x = 0

すなわち

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

である。点 $z = 0, - 1$ は除く。

(3)

同じ内積計算を各頂点で行う。角 $A$ が直角である条件は

Re ((z - 1) \overline{(z^{2} - 1)}) = ∣ z - 1 ∣^{2} (x + 1) = 0

だから $x = - 1$ である。角 $B$ が直角である条件は

Re ((1 - z) \overline{(z^{2} - z)}) = - ∣1 - z ∣^{2} x = 0

だから $x = 0$ である。角 $C$ が直角である条件は(2)の円である。したがって，求める軌跡は次図の太線部分である。

すなわち

x = 0 (z \neq = 0), x = - 1 (z \neq = - 1), (x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} (z \neq = 0, - 1)

の和集合である。

岡山大学 2021年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（内積で3つの直角条件を統一）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（内積で3つの直角条件を統一）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2021年度
理系数学第2問