岡山大学 2021年度 前期理系数学 第2問

(1)
$z\mathrm{\ne }1$ より，$$\frac{z^2-1}{z-1}=z+1$$である。3点 $A(1),B(z),C(z^2)$ が一直線上にあるための必要十分条件は，$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の比が実数であることである。したがって$$z+1\text{ が実数}$$であればよい。よって求める条件は$$z\text{ は実数，かつ }z\mathrm{\ne }0,\pm 1$$である。

(2)
$z=x+yi$ とおく。角 $C$ が直角であるための必要十分条件は$$\frac{1-z^2}{z-z^2}$$が純虚数であることである。ここで$$\frac{1-z^2}{z-z^2}=\frac{(1-z)(1+z)}{z(1-z)}=1+\frac{1}{z}$$であるから，実部が0であればよい。すなわち$$1+\frac{x}{x^2+y^2}=0$$である。よって$$x^2+y^2+x=0$$となり，$${(x+\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}$$である。ただし $z=0,-1$ は除く。したがって図形は，中心 $(-1\mathrm{/}2,0)$，半径 $1\mathrm{/}2$ の円から点 $0,-1$ を除いたものである。

(3)
直角が $A$ にあるとき，$$\frac{z^2-1}{z-1}=z+1$$が純虚数であるから，$z+1$ の実部は0である。したがって $x=-1$ である。ただし $z=-1$ は除く。

直角が $B$ にあるとき，$$\frac{z^2-z}{1-z}=-z$$が純虚数であるから$$x=0$$である。ただし $z=0$ は除く。

直角が $C$ にあるときは(2)より$${(x+\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}$$であり，$z=0,-1$ を除く。

したがって求める図形は，$$x=0(z\mathrm{\ne }0),x=-1(z\mathrm{\ne }-1),$$および$${(x+\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}(z\mathrm{\ne }0,-1)$$の和集合である。

複素数 $u,v$ が表すベクトルの内積を $\mathrm{Re}(u\bar{v})$ で表す。各頂点の2辺の内積を因数分解すると，2本の直線と1つの円が同じ計算で得られる。

(1)
$A$ から見た2辺を複素数で表すと$$\overrightarrow{AB}=z-1,\overrightarrow{AC}=z^2-1=(z-1)(z+1)$$である。$z\mathrm{\ne }1$ なので，これらが平行であるための必要十分条件は $z+1$ が実数であることである。したがって$$\mathrm{Im}z=0$$であり，除外条件を合わせると $z$ は $0,\pm 1$ 以外の実数である。

(2)
$z=x+yi$ とおく。角 $C$ が直角である条件は$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$$である。複素数による内積を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}& {\displaystyle =\mathrm{Re}((1-z^2)\overline{(z-z^2)})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }1-z{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{Re}((1+z)\bar{z})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }1-z{\mathrm{\mid }}^2(x^2+y^2+x)}\end{array}$$である。$z\mathrm{\ne }1$ より，求める条件は$$x^2+y^2+x=0$$すなわち$${(x+\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}$$である。点 $z=0,-1$ は除く。

(3)
同じ内積計算を各頂点で行う。角 $A$ が直角である条件は$$\mathrm{Re}((z-1)\overline{(z^2-1)})=\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2(x+1)=0$$だから $x=-1$ である。角 $B$ が直角である条件は$$\mathrm{Re}((1-z)\overline{(z^2-z)})=-\mathrm{\mid }1-z{\mathrm{\mid }}^{2}x=0$$だから $x=0$ である。角 $C$ が直角である条件は(2)の円である。したがって，求める軌跡は次図の太線部分である。

すなわち$$x=0(z\mathrm{\ne }0),x=-1(z\mathrm{\ne }-1),{(x+\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}(z\mathrm{\ne }0,-1)$$の和集合である。