大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2),\overrightarrow{c}=(c_1,c_2)$$とおく。このとき $$l=a_1{b}_2-a_2{b}_1,m=b_1{c}_2-b_2{c}_1,n=c_1{a}_2-c_2{a}_1$$ である。

まず第1成分を調べると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle l{c}_1+m{a}_1+n{b}_1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a_1{b}_2-a_2{b}_1)c_1+(b_1{c}_2-b_2{c}_1)a_1+(c_1{a}_2-c_2{a}_1)b_1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_1{b}_2{c}_1-a_2{b}_1{c}_1+a_1{b}_1{c}_2-a_1{b}_2{c}_1+a_2{b}_1{c}_1-a_1{b}_1{c}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$同様に第2成分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle l{c}_2+m{a}_2+n{b}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a_1{b}_2-a_2{b}_1)c_2+(b_1{c}_2-b_2{c}_1)a_2+(c_1{a}_2-c_2{a}_1)b_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_1{b}_2{c}_2-a_2{b}_1{c}_2+a_2{b}_1{c}_2-a_2{b}_2{c}_1+a_2{b}_2{c}_1-a_1{b}_2{c}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$したがって$$l\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$$が成り立つ。

(2) $l>0$ であるから、$\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\}\mathrm{\ne }0$ であり、$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ は平行でない。よって任意の平面ベクトル $\overrightarrow{d}$ は、ある実数 $x,y$ を用いて $$\overrightarrow{d}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$$ と表せる。

また (1) より$$l\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$$であり、$l>0$ だから $$\overrightarrow{c}=-{\displaystyle \frac{m}{l}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{n}{l}}\overrightarrow{b}$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{m}{l}}>0$$、$${\displaystyle \frac{n}{l}}>0$$ である。 $t$ を十分大きい0以上の実数に取り、$$r=x+{\displaystyle \frac{m}{l}}t\geqq 0,s=y+{\displaystyle \frac{n}{l}}t\geqq 0$$ となるようにする。例えば $$t\geqq \max (0,-{\displaystyle \frac{lx}{m}},-{\displaystyle \frac{ly}{n}})$$ とすればよい。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}}& {\displaystyle =(x+{\displaystyle \frac{m}{l}}t)\overrightarrow{a}+(y+{\displaystyle \frac{n}{l}}t)\overrightarrow{b}+t(-{\displaystyle \frac{m}{l}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{n}{l}}\overrightarrow{b})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\overrightarrow{d}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、任意の $\overrightarrow{d}$ は0以上の実数 $r,s,t$ を用いて$$\overrightarrow{d}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$$と表せる。

(1) では左辺を $\mathit{V}$ と置き、各ベクトルとの交代式が0になることを示す。非平行な2本があればそれらが基底となり、すべて平行なら係数自体が0になる。(2) では $\mathit{a},\mathit{b}$ を基底にして $\mathit{c}$ の座標を交代式から直接求め、同じ零ベクトル表示を必要なだけ加える。

(1)
求める左辺を$$\mathit{V}=l\mathit{c}+m\mathit{a}+n\mathit{b}$$とおく。交代式の双線形性と$$\{\mathit{a},\mathit{c}\}=-n,\{\mathit{a},\mathit{b}\}=l$$から$$\{\mathit{a},\mathit{V}\}=l(-n)+nl=0$$である。同様に$$\{\mathit{b},\mathit{V}\}=lm-ml=0,\{\mathit{c},\mathit{V}\}=mn-nm=0$$を得る。

$l,m,n$ の少なくとも1つが0でなければ、その係数に対応する2本のベクトルは平行でない。たとえば $l\text{neqq}0$ なら $\mathit{a},\mathit{b}$ は平面の基底であり、両方との交代式が0である $\mathit{V}$ は零ベクトルに限る。$m\text{neqq}0$、$n\text{neqq}0$ の場合も同じである。すべて0なら各項が0なので、どの場合にも$$l\mathit{c}+m\mathit{a}+n\mathit{b}=\mathbf{0}$$となる。

(2)
$l>0$ より $\mathit{a},\mathit{b}$ は基底である。$$\mathit{c}=x\mathit{a}+y\mathit{b}$$ と書くと$$m=\{\mathit{b},\mathit{c}\}=-xl,n=\{\mathit{c},\mathit{a}\}=-yl$$だから$$\mathit{c}=-{\displaystyle \frac{m}{l}}\mathit{a}-{\displaystyle \frac{n}{l}}\mathit{b}\mathrm{.}$$任意の $\mathit{d}$ を$$\mathit{d}=x_0\mathit{a}+y_0\mathit{b}$$と表す。十分大きい $t\geqq 0$ を選び$$r=x_0+{\displaystyle \frac{m}{l}}t\geqq 0,s=y_0+{\displaystyle \frac{n}{l}}t\geqq 0$$とすれば$$r\mathit{a}+s\mathit{b}+t\mathit{c}=x_0\mathit{a}+y_0\mathit{b}=\mathit{d}\mathrm{.}$$したがって要求された非負係数表示が常に存在する。