大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $A,B$ は円 $K_1$ の直径の両端であり、$$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$$ だから $$\overrightarrow{OB}=-\vec{a}$$ である。

また、$R$ は線分 $QA$ を $1:2$ に内分する点である。すなわち $QR:RA=1:2$ であるから、内分公式より$$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{2\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OA}}{3}}={\displaystyle \frac{2\vec{q}+\vec{a}}{3}}$$である。したがって$$\overrightarrow{BR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OB}={\displaystyle \frac{2\vec{q}+\vec{a}}{3}}-(-\vec{a})={\displaystyle \frac{2\vec{q}+4\vec{a}}{3}}$$である。

(2) $$\overrightarrow{AQ}=\vec{q}-\vec{a}$$ であるから、(1) より$$\vec{p}=\overrightarrow{AQ}+k\overrightarrow{BR}=(\vec{q}-\vec{a})+k{\displaystyle \frac{2\vec{q}+4\vec{a}}{3}}$$である。整理すると$$\vec{p}=(1+{\displaystyle \frac{2k}{3}})\vec{q}+(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}})\vec{a}$$となる。

点 $Q$ は円 $K_1$ の周上を動くので $\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }=1$ である。また $k>0$ だから $$1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}>0$$ である。したがって $P$ の位置ベクトル $\vec{p}$ は、固定点 $(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}})\vec{a}$ を中心として、半径 $1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}$ の円を描く。よって $K_2$ は円であり、$$\text{中心の位置ベクトル }(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}})\vec{a},\text{半径 }1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}$$である。

(3) 点 $A$ の位置ベクトルは $\vec{a}$ である。$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=1$ なので、$A$ と $K_2$ の中心との距離は$$\mid \vec{a}-(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}})\vec{a}\mid =\mid 2-{\displaystyle \frac{4k}{3}}\mid$$である。

点 $A$ が円 $K_2$ の内部に含まれるための必要十分条件は、この距離が半径より小さいことである。すなわち $$\mid 2-{\displaystyle \frac{4k}{3}}\mid <1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}$$ である。

この絶対値不等式は $$-(1+{\displaystyle \frac{2k}{3}})<2-{\displaystyle \frac{4k}{3}}<1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}$$ と同値である。右側の不等式から $1<2k$ すなわち $k>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を得る。左側の不等式から $$-1-{\displaystyle \frac{2k}{3}}<2-{\displaystyle \frac{4k}{3}}$$ すなわち $${\displaystyle \frac{2k}{3}}<3$$ より $k<{\displaystyle \frac{9}{2}}$ を得る。

よって求める範囲は ${\displaystyle \frac{1}{2}}<k<{\displaystyle \frac{9}{2}}$ である。

回転しても一般性を失わないので $A=(1,0),B=(-1,0)$ と置き、
$Q=(\cos \theta ,\sin \theta )$ とする。内分公式から $R$、
さらに $P$ の座標を求めると、固定中心に対する円の媒介表示が得られる。
(3) は中心と $A$ の距離を半径と比較する。

$$A=(1,0),B=(-1,0),Q=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ と置く。

(1)
$QR:RA=1:2$ だから$$R={\displaystyle \frac{2Q+A}{3}}\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{BR}=R-B={\displaystyle \frac{2\overrightarrow{q}+4\overrightarrow{a}}{3}}\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{p}=(1+{\displaystyle \frac{2k}{3}})\overrightarrow{q}+(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}})\overrightarrow{a}\mathrm{.}$$したがって座標では$$P=(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}},0)+(1+{\displaystyle \frac{2k}{3}})(\cos \theta ,\sin \theta )\mathrm{.}$$ゆえに中心の位置ベクトルと半径は$$(-1+{\displaystyle \frac{4k}{3}})\overrightarrow{a},1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}\mathrm{.}$$(3)
中心と $A$ の距離は $\mid 2-{\displaystyle \frac{4k}{3}}\mid$ である。
内部に含む条件は$$\mid 2-{\displaystyle \frac{4k}{3}}\mid <1+{\displaystyle \frac{2k}{3}}\mathrm{.}$$両側不等式を解いて$${\displaystyle \frac{1}{2}}<k<{\displaystyle \frac{9}{2}}\mathrm{.}$$