大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第3問

$A$ を原点とし、$$\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{c}=\overrightarrow{AC},\vec{d}=\overrightarrow{AD},\vec{e}=\overrightarrow{AE}$$とおく。条件より $$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=2,\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }=3$$ である。また角の条件から $$\vec{b}\cdot \vec{c}=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }\cos {60}^{\circ }=1,$$ $$\vec{c}\cdot \vec{d}=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }\cos {60}^{\circ }=3,\vec{d}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos {90}^{\circ }=0$$である。 $E$ は $A,B,C,D$ から等距離にあるから、$$\mathrm{\mid }\vec{e}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{e}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{e}-\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{e}-\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。例えば $$\mathrm{\mid }\vec{e}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{e}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{e}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$ なので、$$\mathrm{\mid }\vec{e}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{e}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$ から $$2\vec{e}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=1$$ が得られる。同様にして$$\vec{e}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{1}{2}},\vec{e}\cdot \vec{c}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}{2}}=2,\vec{e}\cdot \vec{d}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$$である。

ここで $$\vec{e}=x\vec{b}+y\vec{c}+z\vec{d}$$ とおく。内積の値を用いると、$$\{\begin{array}{l}x+y={\displaystyle \frac{1}{2}},\\ x+4y+3z=2,\\ 3y+9z={\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$となる。第1式から $x={\displaystyle \frac{1}{2}}-y$、第3式から $y+3z={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。これを第2式に代入すると ${\displaystyle \frac{1}{2}}-y+4y+3z=2$ すなわち $y+z={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。これと $y+3z={\displaystyle \frac{3}{2}}$ を引き比べると $2z=1,z={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、$y=0$、$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。したがって $$\vec{e}={\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{d}$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{E}^2=\mathrm{\mid }\vec{e}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mid {\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{d}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{b}\cdot \vec{d}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}+0={\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$AE=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$ である。

四面体と外心 $E$

$A$ を原点，$B,D$ を互いに直交する座標軸上へ置く．角と辺長から $C$ の座標を定め，3本の垂直二等分平面を連立して $E$ を求める．

座標を置いて求める。$A=(0,0,0)$、$B=(1,0,0)$、$D=(0,3,0)$ とおく。$AC=2$、$\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ より $C$ の $x$ 座標は $2\cos {60}^{\circ }=1$ であり、$\mathrm{\angle }CAD={60}^{\circ }$ より $C$ の $y$ 座標は $2\cos {60}^{\circ }=1$ である。したがって、向きを選べば $C=(1,1,\sqrt{2})$ とできる。 $E=(X,Y,Z)$ とする。$EA=EB$ より $$X^2+Y^2+Z^2=(X-1{)}^2+Y^2+Z^2$$ だから $$X={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。また $EA=ED$ より $$X^2+Y^2+Z^2=X^2+(Y-3{)}^2+Z^2$$ だから $$Y={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。さらに $EA=EC$ より $$X^2+Y^2+Z^2=(X-1{)}^2+(Y-1{)}^2+(Z-\sqrt{2}{)}^2$$ である。$$X={\displaystyle \frac{1}{2}}$$、$$Y={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}+Z^2={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+(Z-\sqrt{2}{)}^2$$ となり、整理して $Z=0$ を得る。よって $$A{E}^2={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ となり、同じく $$AE={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$ である。