大阪大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第4問

(1) $0\leqq t\leqq 1$ では$$P=(t,0,0),Q=(1-{\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}t,1)\mathrm{.}$$線分 $PQ$ 上で高さが $a$ の点は $(1-a)P+aQ$ だから$$(a+t(1-{\displaystyle \frac{3a}{2}}),{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}at,a)\mathrm{.}$$(2) 1周の3つの辺について同様に考えると、切り口は次の3点を頂点とする三角形である。$$R_0=(a,0),R_1=(1-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a),R_2=({\displaystyle \frac{1-a}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(1-a))\mathrm{.}$$2本の辺ベクトルの行列式から面積 $A(a)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \det (\overrightarrow{R_0{R}_1},\overrightarrow{R_0{R}_2})\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(1-3a+3a^2)\mathrm{.}}\end{array}$$(3) よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}A(a)da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{\int }_0^1(1-3a+3a^2)da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$高さ $a$ の三角形切り口

高さ $a$ の点は下の点と上の点のアフィン結合 $(1-a)P+aQ$ である。上の三角形は下の三角形を頂点一つ分だけ巡回置換した配置なので，切り口を与える平面変換の行列式から面積比を一度に求める。

(1)
下の平面で$$P_1=(0,0),P_2=(1,0),P_3=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$とする。最初の1秒では$$P=(t,0),Q=(1-{\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}t)\mathrm{.}$$高さ $a$ の点は $(1-a)P+aQ$ だから$$(a+t(1-{\displaystyle \frac{3a}{2}}),{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}at,a)\mathrm{.}$$\newpage
\brackethead{切り口の三頂点と面積}
(2)
三辺の切替時刻から，切り口の三頂点は$$R_0=(a,0),R_1=(1-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a),R_2=({\displaystyle \frac{1-a}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(1-a))\mathrm{.}$$基準三角形の二辺を列とする行列に対し，高さ $a$ の変換は巡回置換とのアフィン結合になる。その面積倍率，すなわち行列式は$$1-3a+3a^2\mathrm{.}$$元の正三角形の面積は $\sqrt{3}\mathrm{/}4$ だから$$A(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(1-3a+3a^2)\mathrm{.}$$(3)
よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}A(a)da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{[a-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2+a^3]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$