大阪大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

与えられた多項式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-(n-1))(x-n)(x-(n+1))}& {\displaystyle =(x-n{)}^3-(x-n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3-3n{x}^2+(3n^2-1)x+n-n^3\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p=-3n,q=3n^2-1,r=n-n^3\mathrm{.}$$条件 $p>q$ は$$3n^2+3n-1<0$$である。この不等式を満たす整数は $n=-1,0$ だけである。さらに $q>r$ を調べると、$n=0$ では $-1>0$ となって不適、$n=-1$ では $2>0$ となって適する。よって$$n=-1,p=3,q=2,r=0.$$実際、方程式は $x(x+1)(x+2)=0$ となり、根は $-2,-1,0$、かつ $3>2>0$ である。

連続3整数の和・2つずつの積の和・積を計算し、解と係数の関係で $p,q,r$ を $n$ の式にする。大小条件から整数 $n$ を絞る。

3つの根は $n-1,n,n+1$ である。解と係数の関係から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -p}& {\displaystyle =(n-1)+n+(n+1)=3n,}\\ {\displaystyle q}& {\displaystyle =(n-1)n+n(n+1)+(n+1)(n-1)=3n^2-1,}\\ {\displaystyle -r}& {\displaystyle =(n-1)n(n+1)=n^3-n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p=-3n,q=3n^2-1,r=n-n^3\mathrm{.}$$$p>q$ より$$3n^2+3n-1<0.$$この上に開く2次式を整数 $n$ について調べると、候補は$$n=-1,0$$だけである。$n=0$ では $(p,q,r)=(0,-1,0)$ となり $q>r$ に反する。$n=-1$ では$$(p,q,r)=(3,2,0)$$で $3>2>0$ を満たす。よって$$n=-1,p=3,q=2,r=0.$$