大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $F(x)=x^2-kax+a-k$ とおく。$a>0$，$k\geqq 1$である。まず $$F(1)=1-ka+a-k=(1+a)(1-k)\leqq 0$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(-\frac{1}{a})}& {\displaystyle =\frac{1}{a^2}+k+a-k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{a^2}+a>0}\end{array}$$である。 $F(x)$は連続関数であるから，$F(-1\mathrm{/}a)>0$かつ$F(1)\leqq 0$より，方程式$F(x)=0$は $-\frac{1}{a}<s\leqq 1$ を満たす実数解$s$をもつ。なお，$F(1)=0$の場合は$s=1$を取ればよく，$F(1)<0$の場合は$-1\mathrm{/}a$と1の間に根がある。

(2) $n^2+a$が$an+1$で割り切れるとし，その商を$k$とおく。$a\geqq 3$，$n\geqq 2$より$an+1>0$，$n^2+a>0$なので，$k$は1以上の整数である。割り切れる条件は $n^2+a=k(an+1)$ すなわち $n^2-kan+a-k=0$ と書ける。したがって$n$は，(1)の2次方程式 $x^2-kax+a-k=0$ の整数解である。

(1) より，この2次方程式は $-\frac{1}{a}<s\leqq 1$ を満たす実数解$s$をもつ。もう一つの解が整数$n$で，係数も整数なので，解と係数の関係から $s=ka-n$ となり，$s$も整数である。$a\geqq 3$なので$-1\mathrm{/}a>-1$であり，整数$s$は $$s=0\text{または}s=1$$ に限られる。 $s=0$のとき，解と係数の関係より $ns=a-k=0$ だから$k=a$である。また根の和から $n+s=ka$ なので $n=a^2$ を得る。 $s=1$のとき，解と係数の関係より $n=a-k,n+1=ka$ である。第2式から$k=(n+1)\mathrm{/}a$であり，これを第1式に代入すると $$n=a-\frac{n+1}{a}$$ である。よって $$an=a^2-n-1,(a+1)n=a^2-1=(a-1)(a+1)$$ となり，$n=a-1$ を得る。

最後に確認する。$n=a^2$のとき $$n^2+a=a^4+a=a(a^3+1)=a(an+1)$$ であり，割り切れる。$n=a-1$のとき $$n^2+a=(a-1{)}^2+a=a^2-a+1=an+1$$ であり，これも割り切れる。どちらも$a\geqq 3$なら$n\geqq 2$である。

したがって求める整数は である。

(1) は端点での符号と連続性で示す。(2)は商を導入して2次方程式の根を調べる代わりに，$an+1$が$a^3+1$を割り切ることを合同式から導く。商側も1を法$a$で剰余にもつため$(an+1)(av+1)=a^3+1$と書き，正整数$n,v$の積と和の条件を使って分類する。

(1) $F(x)=x^2-kax+a-k$とおくと$$F(1)=(a+1)(1-k)\leqq 0$$であり，$$F(-\frac{1}{a})=\frac{1}{a^2}+a>0$$である。$F$は連続だから，中間値の定理により$$-\frac{1}{a}<s\leqq 1$$を満たす実数$s$で$F(s)=0$となるものが存在する。

(2) $d=an+1$とおく。仮定より$d\mid n^2+a$である。ところが$$a^2(n^2+a)-(an-1)(an+1)=a^3+1$$だから$$\begin{array}{cccc}& d=an+1\mid a^3+1& & \text{(1)}\end{array}$$である。

$e=(a^3+1)\mathrm{/}d$とおく。$d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)$かつ$de=a^3+1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)$なので，$e\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)$である。したがって，ある0以上の整数$v$を用いて$$e=av+1$$と書ける。(1)は$$(an+1)(av+1)=a^3+1$$となり，展開して$a$で割ると$$\begin{array}{cccc}& anv+n+v=a^2& & \text{(2)}\end{array}$$を得る。

$v=0$なら(2)から$n=a^2$である。次に$v\geqq 1$とする。(2)より$nv<a$であり，また(2)を法$a$で見ると$$\begin{array}{cccc}& n+v\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$もし$v\geqq 2$なら，$n\geqq 2$と合わせて$n+v\leqq nv<a$となる。これは正の整数$n+v$が$a$の倍数である(3)に反する。よって$v=1$であり，(2)から$$(a+1)n+1=a^2,n=a-1$$を得る。

最後に，$n=a-1$では$n^2+a=an+1$，$n=a^2$では$n^2+a=a(an+1)$となるので，両方とも条件を満たす。したがってである。