大阪大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$x\mathrm{\ne }0$ であり、両辺に $x^2$ を掛けて $t=x+1\mathrm{/}x$ とおくと$$\begin{array}{cccc}& t^2+at+b-2=0.& & \text{(1)}\end{array}$$(1) 1つの $t>2$ に対し $x+1\mathrm{/}x=t$ は相異なる2つの正根をもつ。従って元の方程式が4つの正根をもつための必要十分条件は、(1)が相異なる2根をもち、両方が2より大きいことである。これは$$a<-4,b+2a+2>0,a^2-4b+8>0$$と同値である。実際、頂点 $-a\mathrm{/}2>2$、$t=2$ で正、最小値が負という3条件である。

(2) 4根は逆数を取っても同じ集合で、正の等比数列をなすから、ある $r>1$ により$$r^{-3},r^{-1},r,r^3$$と書ける。$u=r+r^{-1}>2$ とおくと、(1)の2根は$$u,r^3+r^{-3}=u^3-3u\mathrm{.}$$従って$$a=2u-u^3,b=u^4-3u^2+2.$$条件 $2a+b=14$ は$$u^4-2u^3-3u^2+4u-12=0$$であり、$$(u-3)(u^3+u^2+4)=0.$$$u>2$ では後の因子は正だから $u=3$。よって$$a=-21,b=56.$$