大阪大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$\mathit{a}=\overrightarrow{OA},\mathit{b}=\overrightarrow{OB}$$ とおくと、$$\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }=b,\mathit{a}\cdot \mathit{b}=b\cos \theta$$ である。$P$ は垂線の足だから$$\{t\mathit{a}+(1-t)\mathit{b}\}\cdot (\mathit{a}-\mathit{b})=0.$$これを解いて$$t={\displaystyle \frac{b(b-\cos \theta )}{b^2-2b\cos \theta +1}}\mathrm{.}$$(2) 分母は $A{B}^2>0$ である。$P$ が二半直線の間にある条件は $0\leqq t\leqq 1$ だから$$b-\cos \theta \geqq 0,1-b\cos \theta \geqq 0.$$よって$$\cos \theta \leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\mathrm{.}$$(3) $OP\perp AP$ より、$P$ は直径 $OA$ の円上にある。(2)の両端では、$P$ はそれぞれ $l_2,l_1$ 上にあるので、求める軌跡はその円の両半直線間の円弧である。$l_1$ からの偏角を $\varphi$ とし $OP=\rho$ とすると、直径 $OA$ の円の方程式は$$\rho =\cos \varphi (0\leqq \varphi \leqq \theta )\mathrm{.}$$したがって囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\theta }{\rho }^{2}d\varphi ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\theta }{\cos }^2\varphi d\varphi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\theta }{4}}+{\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$

座標を置いて垂線条件から $t$ を求める。軌跡は直径 $OA$ の円弧であり、囲まれる面積を三角形と半径 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$、中心角 $2\theta$ の円弧部分に分ける。

(1) $$O=(0,0),A=(1,0),B=(b\cos \theta ,b\sin \theta )$$とおく。$$\mathit{p}=\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}$$ と書き、$\mathit{p}\perp \overrightarrow{AB}$ を使うと$$\{t\mathit{a}+(1-t)\mathit{b}\}\cdot (\mathit{b}-\mathit{a})=0.$$整理して$$t={\displaystyle \frac{b(b-\cos \theta )}{b^2-2b\cos \theta +1}}\mathrm{.}$$(2)
分母は $A{B}^2>0$ である。$P$ が2本の半直線にはさまれる条件は $0\leqq t\leqq 1$ だから$$b\geqq \cos \theta ,b\cos \theta \leqq 1.$$よって$$\cos \theta \leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\mathrm{.}$$(3)
$\mathrm{\angle }OPA={90}^{\circ }$ なので、$P$ は直径 $OA$ の円上にある。$b=\cos \theta$ では $P=B$ で$$OP=\cos \theta ,$$$b=(\cos \theta {)}^{-1}$ では $P=A$ である。したがって軌跡はこの2点を結ぶ円弧である。

円の中心を $C$ とすると半径は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$、中心角 $\mathrm{\angle }ACB$ は $2\theta$ である。求める領域は三角形 $OAB$ と弦 $AB$ に対する円弧部分の和である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \theta \sin \theta \{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2(2\theta )-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\sin 2\theta \}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\theta }{4}}+{\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$