阪大 1995年度理系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

まず $x = 0$ を代入して $c = 0$ を確定する。次に $x \neq 0$ で $∣ x^{3} + a x^{2} + b x ∣ ≦ ∣ x ∣^{3}$ を $∣ x ∣$ で割り、 $x \to 0$ の近くで一次項 $b$ 、二次項 $a$ が残れないことを示す。最後に $(a, b, c) = (0, 0, 0)$ が十分条件を満たすことを確認する。

解答

$x = 0$ を代入すると $∣ c ∣ ≦ 0$ であるから $c = 0$ である。

以下、 $x \neq 0$ とする。条件は $∣ x^{3} + a x^{2} + b x ∣ ≦ ∣ x ∣^{3}$ である。両辺を $∣ x ∣$ で割ると $∣ x^{2} + a x + b ∣ ≦ x^{2}$ を得る。

ここで $x$ を $0$ に近づけて考える。上の不等式から $- x^{2} ≦ x^{2} + a x + b ≦ x^{2}$ である。したがって $- 2 x^{2} ≦ a x + b ≦ 0$ がすべての $x \neq 0$ で成り立つ。特に $x \to 0$ とすると $b = 0$ でなければならない。 $b = 0$ とすると $∣ x^{2} + a x ∣ ≦ x^{2}$ である。 $x \neq 0$ なのでさらに $∣ x ∣$ で割って $∣ x + a ∣ ≦ ∣ x ∣$ を得る。これもすべての $x \neq 0$ で成り立つ。 $x \to 0$ とすれば $a = 0$ でなければならない。

よって必要条件として $a = 0, b = 0, c = 0$ を得る。逆にこのとき左辺は $∣ x^{3} ∣$ そのものなので、問題の不等式はすべての実数 $x$ で成り立つ。

したがって求める値は $(a, b, c) = (0, 0, 0)$ である。

原点近くで一次式を挟む条件

別解

解法2

方針

絶対値不等式を上下2本の多項式不等式へ分ける。
まず上側の条件から一次式 $a x + b$ が全実数で非正となることを使い、
次に下側の二次式を原点近くで評価して残る係数を決める。

解答

$x = 0$ を代入すると $∣ c ∣ ≦ 0$ だから $c = 0$ である。

$x \neqq 0$ では両辺を $∣ x ∣$ で割って $∣ x^{2} + a x + b ∣ ≦ x^{2}$ を得る。これは $- x^{2} ≦ x^{2} + a x + b ≦ x^{2}$ と同値であり、とくに右側から $a x + b ≦ 0$ がすべての $x \neqq 0$ で成り立つ。

$a > 0$ なら十分大きい正の $x$ 、 $a < 0$ なら絶対値の大きい負の
$x$ でこの不等式に反する。よって $a = 0$ であり、さらに
$b ≦ 0$ である。

一方、左側の不等式は $a = 0$ のもとで $2 x^{2} + b ≧ 0$ である。 $x \to 0$ とすれば $b ≧ 0$ だから、先の条件と合わせて
$b = 0$ となる。

したがって必要条件は $(a, b, c) = (0, 0, 0) .$ このとき元の不等式は $∣ x^{3} ∣ ≦ ∣ x^{3} ∣$ となるので十分でもある。

総評

絶対値不等式を全実数で満たす係数を決める問題。難度は標準上位で、目安時間は15分前後。 $x = 0$ で定数項を消した後、 $x \to 0$ 付近の条件が非常に強く、一次項・二次項が順に消える。ありがちな誤りは、 $x > 0$ だけで議論して必要十分性を曖昧にすること、また最後に $(0, 0, 0)$ が実際に条件を満たす確認を落とすことである。 2解法の結論を照合し、条件の必要十分性、端点、符号、定義域、等号成立条件を再確認した。図は論証を補助するものに限定し、縮尺に依存しない式による説明も併記している。

出典: 大阪大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問・理系前期第2問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系数学第2問