阪大 2016年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

(1) は各 $k$ を $k = 2^{e} u$ （ $u$ 奇数）と分ける。 $e ≦ N$ かつ $u$ は $A_{n}$ の因数なので $2^{N} A_{n} / k$ は整数であり，和全体も整数。奇偶は， $e = N$ かつ $u = 1$ ，つまり $k = 2^{N}$ の項だけが奇数になることから示す。(2)は $20 S_{n}$ が整数と仮定し， $N ≧ 3$ なら $2^{N} A_{n} S_{n}$ が偶数になって(1)に矛盾することを使う。よって $n ≦ 7$ を直接調べる。(3)は $16 A_{20} S_{20}$ を16で割った余りで調べ，小数部分を $(余り) / 16$ として求める。

解答

(1) $1 ≦ k ≦ n$ を任意にとり， $k = 2^{e} u$ と表す。ただし $u$ は奇数である。 $N$ は $\log_{2} n$ 以下の最大の整数なので $2^{N} ≦ n < 2^{N + 1}$ である。したがって $k ≦ n$ なら $e ≦ N$ である。また $u$ は $1 ≦ u ≦ n$ を満たす奇数なので， $A_{n}$ の因数である。

よって $\frac{2^{N} A_{n}}{k} = \frac{2^{N - e} A_{n}}{u}$ は整数である。したがって $2^{N} A_{n} S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{2^{N} A_{n}}{k}$ は整数である。

次に奇偶を調べる。上の項 $\frac{2^{N - e} A_{n}}{u}$ が奇数となるには， $N - e = 0$ でなければならない。つまり $e = N$ である。このとき $k = 2^{N} u ≦ n < 2^{N + 1}$ だから，奇数 $u$ は $u = 1$ に限られる。したがって奇数の項は $k = 2^{N}$ に対応する1項だけであり，他の項はすべて偶数である。

よって和 $2^{N} A_{n} S_{n}$ は奇数の整数である。

(2) $S_{n} = 2 + \frac{m}{20}$ となるなら， $20 S_{n}$ は整数である。もし $N ≧ 3$ なら $n ≧ 8$ であり， $A_{n}$ は奇数5を因数にもつ。このとき $2^{N} A_{n} S_{n} = \frac{2^{N - 2} A_{n} (20 S_{n})}{5}$ である。右辺は整数であり，しかも $N - 2 \neq 0$ なので偶数である。これは(1)で示した「奇数の整数」に反する。したがって $N ≦ 2$ であり， $n ≦ 7$ である。

そこで $n = 1, 2, \dots, 7$ を調べる。 $S_{n}$ は $1, \frac{3}{2}, \frac{11}{6}, \frac{25}{12}, \frac{137}{60}, \frac{49}{20}, \frac{363}{140}$ である。このうち $S_{n} = 2 + \frac{m}{20}$ の形で $m$ が正の整数になるのは $S_{6} = \frac{49}{20} = 2 + \frac{9}{20}$ だけである。よって $(n, m) = (6, 9)$ である。

(3) $n = 20$ では $N = 4$ であるから，(1)より $16 A_{20} S_{20}$ は奇数の整数である。 $A_{20} S_{20}$ の小数部分を求めるには，この整数を16で割った余りを求めればよい。 $16 A_{20} S_{20} = \sum_{k = 1}^{20} \frac{16 A_{20}}{k}$ である。 $k$ が奇数のとき， $k$ は $A_{20}$ を割り切るので， $16 A_{20} / k$ は16の倍数であり，16で割った余りは0である。偶数 $k$ について余りを調べると， $\begin{array}{ccccccccccc} k & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 \\ \frac{16 A_{20}}{k} (m o d 16) & 8 & 12 & 8 & 6 & 8 & 4 & 8 & 3 & 8 & 12 \end{array}$ である。したがって $16 A_{20} S_{20} \equiv 8 + 12 + 8 + 6 + 8 + 4 + 8 + 3 + 8 + 12 \equiv 13 (m o d 16)$ である。

よってある整数 $q$ を用いて $16 A_{20} S_{20} = 16 q + 13$ と書ける。したがって $A_{20} S_{20} = q + \frac{13}{16}$ であり，求める小数部分は $\frac{13}{16}$ である。

別解

解法2

方針

(1) から $S_{n}$ を既約分数にしたときの分母に含まれる2の最高冪がちょうど $2^{N}$ であることを読み取る。(2)は右辺の分母20と比較して $N ≦ 2$ を得る。(3)は偶数 $k$ を2で割れる回数ごとにまとめ，各項の小数部分だけを加える。

解答

(1) $k = 2^{e} u$ （ $u$ は奇数）と書く。 $k ≦ n < 2^{N + 1}$ より $e ≦ N$ であり，奇数 $u ≦ n$ は $A_{n}$ の因数だから $\frac{2^{N} A_{n}}{k} = 2^{N - e} \frac{A_{n}}{u}$ は整数である。したがって $2^{N} A_{n} S_{n}$ は整数である。この項が奇数になるのは $e = N$ のときだけであり， $2^{N} u ≦ n < 2^{N + 1}$ からその場合は $u = 1$ ，すなわち $k = 2^{N}$ だけである。よって和には奇数項がちょうど1つあり， $2^{N} A_{n} S_{n}$ は奇数の整数である。

さらに $S_{n} = p / q$ を既約分数で表すと， $A_{n}$ は奇数であるから，上の奇数性は $q$ に含まれる2の最高冪がちょうど $2^{N}$ であることも示している。

(2) $S_{n} = 2 + \frac{m}{20}$ なら，既約化した分母に含まれる2の最高冪は高々 $4 = 2^{2}$ である。したがって(1)より $N ≦ 2$ ，すなわち $n ≦ 7$ である。 $n = 1, \dots, 7$ を調べると $S_{1} = 1, S_{2} = \frac{3}{2}, S_{3} = \frac{11}{6}, S_{4} = \frac{25}{12}, S_{5} = \frac{137}{60}, S_{6} = \frac{49}{20}, S_{7} = \frac{363}{140} .$ 条件を満たすのは $S_{6} = 2 + 9 / 20$ だけなので $(n, m) = (6, 9) .$ (3) $A = A_{20}$ と書く。奇数 $k$ に対する $A / k$ は整数なので，小数部分には寄与しない。偶数 $k = 2^{e} u$ を $e$ ごとにまとめる。

$e = 1$ の5項 $k = 2, 6, 10, 14, 18$ では $A / u$ が奇数なので，各項の小数部分は $1 / 2$ ，合計の小数部分は $1 / 2$ である。 $e = 2$ の $k = 4, 12, 20$ では小数部分が順に $\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ となり，合計の小数部分は $3 / 4$ である。また $A = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots 19 \equiv 3 (m o d 16)$ だから， $k = 8$ の項の小数部分は $3 / 8$ ， $k = 16$ の項の小数部分は $3 / 16$ である。

したがって全体の小数部分は $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{16} = \frac{29}{16} \equiv \frac{13}{16} (m o d 1) .$

総評

難度8，計算量7。目安時間は30分。(1)は分母の2の指数と奇数部分を分ける問題で，整数性だけでなく「奇数性」まで示す必要がある。奇数になる項が $k = 2^{N}$ の1項だけであることを明確に書くのが重要。(2)は(1)の奇数性を利用する典型的な反証で， $N ≧ 3$ なら5が $A_{n}$ に含まれる点を忘れない。(3)は合同計算の表を丁寧に作る問題で， $16 A_{20} S_{20}$ の余りがそのまま小数部分の分子になることを説明すると見通しがよい。

出典: 大阪大学 2016年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問