Evolton
方針
両辺の積分を計算し，差を でくくる。(a
e b) を使って を得た後， では約数対を列挙し，(3)では2因子の3を法とする関係から を導く。
解答
(1)
条件 (＊) の左辺から右辺を引くとである。これを整理すると となる。条件 (＊) よりこの値は であり、 だから である。したがって である。ゆえに である。
(2)
(1)で得た式を因数分解すると である。 のとき となる。 とおくと であり、また連立方程式を解いて である。さらに だから、 は と同値である。 かつ より、 は負、 は正である。候補は である。このうち が整数になるには、 と がともに3で割り切れる必要がある。各候補を調べると、整数を与えるのは だけである。
それぞれ である。したがって求める組は である。
(3)
(1)の式から である。右辺は3で割り切れるから、左辺の少なくとも一方の因子は3で割り切れる。
ここで3を法として考えると である。したがって が3で割り切れることと、 が3で割り切れることは同値である。よって、左辺が3で割り切れるなら、実際には2つの因子がともに3で割り切れる。
したがって である。一方 だから となり、 を得る。整数 について なら であるから、 は3の倍数である。
別解
解法2（線形変換X,Yで約数条件を統一する）
方針
と変換し，積分条件を へまとめる。逆変換と を使えば，(2)の整数条件と大小条件，(3)の3の倍数条件を同じ枠組みで処理できる。
解答
(1)
条件の左辺から右辺を引いて原始関数を代入するとである。 だからを得る。したがってである。
(2) とおく。逆にである。 のとき であり， は と同値なので，候補はである。逆変換で整数 を与えるものだけを残すとであり，それぞれとなる。
(3)
より， の少なくとも一方は3の倍数である。一方は3の倍数だから，一方が3の倍数なら他方も3の倍数である。したがって であり，を得る。よって である。3は素数なので であり， は3の倍数である。
総評
難度6、計算量6。想定時間は22分程度。積分問題を という整数の積へ変換できるかが勝負である。(2)では約数対だけでなく逆変換が整数になる条件と を同時に確認し，(3)では『積が3の倍数』から2因子がともに3の倍数になる理由を合同式または で明記する。候補2組は元の積分条件へ代入しても一致する。