大阪大学 2021年度文系数学第3問解答・解説

問題

整数 $a, b, c$ に関する次の条件(＊)を考える．

\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x = \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x \dots (＊)

(1) 整数 $a, b, c$ が(＊)および $a \neq = b$ をみたすとき， $c^{2}$ を $a, b$ を用いて表せ．

(2) $c = 3$ のとき，(＊)および $a < b$ をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求めよ．

(3) 整数 $a, b, c$ が(＊)および $a \neq = b$ をみたすとき， $c$ は3の倍数であることを示せ．

出典：大阪大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1（積分差を因数分解し合同式で詰める）

両辺の積分を計算し，差を $b - a$ でくくる。(ae b) を使って $(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}$ を得た後， $c = 3$ では約数対を列挙し，(3)では2因子の3を法とする関係から $9 ∣ 3 c^{2}$ を導く。

解法2（線形変換X,Yで約数条件を統一する）

$X = 2 a + b, Y = a + 2 b$ と変換し，積分条件を $X Y = - 3 c^{2}$ へまとめる。逆変換と $b - a = Y - X$ を使えば，(2)の整数条件と大小条件，(3)の3の倍数条件を同じ枠組みで処理できる。

解答

解法1（積分差を因数分解し合同式で詰める）

(1)

条件 (＊) の左辺から右辺を引くと

\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x - \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x

= [\frac{x ^{3}}{3} + \frac{b x ^{2}}{2}]_{a}^{c} - [\frac{x ^{3}}{3} + \frac{a x ^{2}}{2}]_{b}^{c}

である。これを整理すると $\frac{b - a}{2} c^{2} + \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{a b ^{2} - a ^{2} b}{2}$ $= \frac{b - a}{6} {3 c^{2} + 2 (a^{2} + ab + b^{2}) + 3 ab}$ $= \frac{b - a}{6} {2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} + 3 c^{2}}$ となる。条件 (＊) よりこの値は $0$ であり、 $a \neq = b$ だから $b - a \neq = 0$ である。したがって $2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} + 3 c^{2} = 0$ である。ゆえに $c^{2} = - \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{3}$ である。

(2)

(1)で得た式を因数分解すると $(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}$ である。 $c = 3$ のとき $(2 a + b) (a + 2 b) = - 27$ となる。 $X = 2 a + b, Y = a + 2 b$ とおくと $X Y = - 27$ であり、また連立方程式を解いて $a = \frac{2 X - Y}{3}, b = \frac{- X + 2 Y}{3}$ である。さらに $b - a = Y - X$ だから、 $a < b$ は $X < Y$ と同値である。 $X Y = - 27$ かつ $X < Y$ より、 $X$ は負、 $Y$ は正である。候補は $(X, Y) = (- 1, 27), (- 3, 9), (- 9, 3), (- 27, 1)$ である。このうち $a, b$ が整数になるには、 $2 X - Y$ と $- X + 2 Y$ がともに3で割り切れる必要がある。各候補を調べると、整数を与えるのは $(X, Y) = (- 3, 9), (- 9, 3)$ だけである。

それぞれ $(X, Y) = (- 3, 9) \Rightarrow (a, b) = (- 5, 7),$ $(X, Y) = (- 9, 3) \Rightarrow (a, b) = (- 7, 5)$ である。したがって求める組は $(a, b) = (- 7, 5), (- 5, 7)$ である。

(3)

(1)の式から $(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}$ である。右辺は3で割り切れるから、左辺の少なくとも一方の因子は3で割り切れる。

ここで3を法として考えると $2 a + b \equiv - a + b = b - a (mod 3),$ $a + 2 b \equiv a - b (mod 3)$ である。したがって $2 a + b$ が3で割り切れることと、 $a + 2 b$ が3で割り切れることは同値である。よって、左辺が3で割り切れるなら、実際には2つの因子がともに3で割り切れる。

したがって $9 ∣ (2 a + b) (a + 2 b)$ である。一方 $(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}$ だから $9 ∣ 3 c^{2}$ となり、 $3 ∣ c^{2}$ を得る。整数 $c$ について $3 ∣ c^{2}$ なら $3 ∣ c$ であるから、 $c$ は3の倍数である。

解法2（線形変換X,Yで約数条件を統一する）

(1)

条件の左辺から右辺を引いて原始関数を代入すると

0 = \frac{b - a}{6} {2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} + 3 c^{2}}

である。 $a \neq = b$ だから

(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}

を得る。したがって

c^{2} = - \frac{1}{3} (a + 2 b) (2 a + b)

である。

(2)

X = 2 a + b, Y = a + 2 b

とおく。逆に

a = \frac{2 X - Y}{3}, b = \frac{- X + 2 Y}{3}, b - a = Y - X

である。 $c = 3$ のとき $X Y = - 27$ であり， $a < b$ は $X < Y$ と同値なので，候補は

(X, Y) = (- 27, 1), (- 9, 3), (- 3, 9), (- 1, 27)

である。逆変換で整数 $a, b$ を与えるものだけを残すと

(X, Y) = (- 9, 3), (- 3, 9)

であり，それぞれ

(a, b) = (- 7, 5), (- 5, 7)

となる。

(3)

$X Y = - 3 c^{2}$ より， $X, Y$ の少なくとも一方は3の倍数である。一方

X + Y = 3 (a + b)

は3の倍数だから，一方が3の倍数なら他方も3の倍数である。したがって $9 ∣ X Y$ であり，

9 ∣ 3 c^{2}

を得る。よって $3 ∣ c^{2}$ である。3は素数なので $3 ∣ c$ であり， $c$ は3の倍数である。

大阪大学 2021年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（積分差を因数分解し合同式で詰める）

解法2（線形変換X,Yで約数条件を統一する）

解答

解法1（積分差を因数分解し合同式で詰める）

(1)

(2)

(3)

解法2（線形変換X,Yで約数条件を統一する）

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2021年度
文系数学第3問